1ユークリッドの互除法
![](/s/a.png)
![](/s/b.png)
![](/s/q.png)
![](/s/r.png)
![](/s/a.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/b.png)
![](/s/q.png)
![](/s/add.png)
![](/s/r.png)
![](/s/0.png)
![](/s/le.png)
![](/s/r.png)
![](/s/lt.png)
![](/s/b.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/a.png)
![](/s/ge.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/gt.png)
![](/s/r.png)
さらにこの置き換えを繰り返すことで最終的に余り
が
になって、ある整数
と
との最大公約数![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/0.png)
を求める問題に行き着きます。 ここで、
との最大公約数は![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
なので、結局
と
の最大公約数は![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
が答えとなります。
![](/s/r.png)
![](/s/0.png)
![](/s/n.png)
![](/s/0.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/0.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/b.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/n.png)
第3話に、ユークリッドの互除法を使った例を掲載しています。
2ユークリッドの互除法の証明
それでは、ユークリッドの互除法で唯一自明でない部分の「![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
」を証明しましょう。
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
前述の通り、![](/s/a.png)
![](/s/ge.png)
を満たす正の整数![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
について、
を
で割った商を
、余りを
として、「![](/s/a.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/b.png)
![](/s/q.png)
![](/s/add.png)
(![](/s/0.png)
![](/s/le.png)
![](/s/r.png)
![](/s/lt.png)
)」と表されます。
![](/s/a.png)
![](/s/ge.png)
![](/s/b.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/a.png)
![](/s/b.png)
![](/s/q.png)
![](/s/r.png)
![](/s/a.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/b.png)
![](/s/q.png)
![](/s/add.png)
![](/s/r.png)
![](/s/0.png)
![](/s/le.png)
![](/s/r.png)
![](/s/lt.png)
![](/s/b.png)
式を変形して、「![](/s/r.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/b.png)
」となります。 ここで
は![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
の倍数で、![](/s/sub.png)
![](/s/b.png)
も![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
の倍数なので、倍数同士を足した「
(![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/b.png)
)」も![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
の倍数です。 よって、![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
は
の約数です。
![](/s/r.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/b.png)
![](/s/q.png)
![](/s/a.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/b.png)
![](/s/g.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/r.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/b.png)
![](/s/g.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/r.png)
一方、![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
は
の約数です。 よって、![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
は
と
の公約数となりますが、「
と
の公約数」は「
と
の最大公約数」以下なので、「![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/le.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
」が成り立ちます。
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/b.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/b.png)
![](/s/r.png)
![](/s/b.png)
![](/s/r.png)
![](/s/b.png)
![](/s/r.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/le.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
同様に、「![](/s/a.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/b.png)
![](/s/q.png)
![](/s/add.png)
」より、![](/s/b.png)
は![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
の倍数で、
も![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
の倍数なので、倍数同士を足した「
(![](/s/eq.png)
![](/s/b.png)
![](/s/q.png)
![](/s/add.png)
)」も![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
の倍数です。 よって、![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
は
の約数です。
![](/s/a.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/b.png)
![](/s/q.png)
![](/s/add.png)
![](/s/r.png)
![](/s/b.png)
![](/s/q.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/r.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/a.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/b.png)
![](/s/q.png)
![](/s/add.png)
![](/s/r.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/a.png)
一方、![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
は
の約数です。 よって、![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
は
と
の公約数となりますが、「
と
の公約数」は「
と
の最大公約数」以下なので、「![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/ge.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
」が成り立ちます。
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/b.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/a.png)
![](/s/b.png)
![](/s/a.png)
![](/s/b.png)
![](/s/a.png)
![](/s/b.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/ge.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
「![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/le.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
」と「![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/ge.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
」がいえましたので、「![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
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![](/s/r.png)
」が成り立ちます。 (証明終)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/le.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/ge.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/tg.png)
![](/s/tc.png)
![](/s/td.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/b.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)