くいなちゃん数学

第3話
さまざまな数

第2話集合と自然数第4話関数と写像

2023年10月02日くいなちゃん

「くいなちゃん数学」第3話では、整数や実数など、さまざまな数について解説します！

第2話では、集合と自然数と加算の公理を使って「

」を証明しました。しかし、これらの公理を持ち出さなくてもわたしたちは「

」であることを確信しています。そこで、前回のような方法で「

」や「

」などを証明していくことはやめ、その気になればこれらも証明可能であるとした上で、今後は「本当に成り立つかどうか判らないこと」に焦点を当てて進めることにします。

1整数

第2話で、自然数を「

」という集合で表しましたが、これらにマイナスを付けた数を含めたものを「整数せいすう」といいます。つまり整数全体の集合を

とすると、「」となります。

より大きい数を「正せい」の数といい、

より小さい数を「負ふ」の数といいます。

どのような2つの整数

に対しても、加算「

」や減算「

」や乗算「

」が行えることはご存知の通りです。「

」は「

」と書かれたり、しばしば乗算の記号が省略されて「

」と書かれます。

1.1累乗

整数

と、

以上の整数

に対し、「」と表された演算を「累乗るいじょう」といいます。このとき「

」とは「を回掛けた数」を意味し、例えば「

」は「

」、つまり

です。

また、

でない任意の数

に対し、「

」とします。例えば「

」です。「

」は、便宜上「

」と定義されることもありますが、様々な理由から定義しないことも多いです。

1.2絶対値

整数

がからどれだけ離れているかを、

の「絶対値ぜったいち」といい、「」と表します。例えば

の絶対値は「

」、

の絶対値は「

」です。

のときは「

」、

のときは「

」と計算できます。

1.3整数を学ぶ意義

物理学などの自然科学では、整数よりも実数を扱うことが多いため、学校教育では整数が深く取り上げられることは少ないのが現状です。

しかし整数にはパズルのような面白さと奇妙さがあるため、数学の大会や未解決問題には整数に関するものが多く現れます。またコンピュータ上では整数は基本的な要素になるため、素数の定理が暗号に応用されるなど活用されています。

その面白さに触れていただくため、今回は整数の基本的な性質を説明したのちに、最後にそれらを応用した具体的な問題を解いてみることにします。

2整数の性質

ここからは、整数の様々な性質について解説します。

2.1商と余り

2つの整数の除算(

)は、その値が整数にならないことがあります。そこで、計算結果が整数になる「商しょう」と「余あまり」というものを定義します。

「

」をしたとき、「商」とは、個のものを人に配ったときの1人あたりの個数のことです。「余り」は、配りきれずに残った個数です。例えば、「

」の商は

、余りは

です。

これを厳密に数式で定義すると、整数

と、

以外の整数

に対し、「

」をしたときの商と余りとは、それぞれ「

」を満たす整数

と

になります。「

」の例では、

に

、

に

、

に

、

に

を入れると「

」になり、この数式を満たしていることが解ります。

2.2割り切る、約数、倍数

「

」の余りがであれば、「

は

を割わり切きる」といいます。例えば「

」は余りが

なので、

は

を割り切ります。

は

を割り切るとき、

は

の「約数やくすう」といい、また

は

の「倍数ばいすう」といいます。

は

を割り切るため、

は

の約数、

は

の倍数です。

2.3公約数、公倍数

2つ以上の整数の共通の約数と倍数を考えましょう。

は

を割り切り、

は

を割り切るとき、整数

を、

と

の「公約数こうやくすう」といいます。例えば、

は

を割り切り、

は

を割り切るので、

は

と

の公約数です。

は

を割り切り、

は

を割り切るとき、整数

を、

と

の「公倍数こうばいすう」といいます。例えば、

は

を割り切り、

は

を割り切るので、

は

と

の公倍数です。

と

の公約数のうち最大のものを、

と

の「最大公約数さいだいこうやくすう」といい、「

」と表します。

と

の正の公倍数のうち最小のものを、

と

の「最小公倍数さいしょうこうばいすう」といい、「

」と表します。

補足

gcdは「greatest common divisor (最大公約数)」の略、lcmは「least common multiple (最小公倍数)」の略です。

2.4最大公約数と最小公倍数の求め方

最大公約数を何も考えずに求めると時間がかかりますが、図2-1に示した「ユークリッドの互除法ごじょほう」という方法を使うと早く求まります。

例えばとの最大公約数をユークリッドの互除法で求めた結果は、図2-2の通りです。

また、最小公倍数

は「」で求まります。例えば

と

の最小公倍数は、

となり、

です。

2.5互いに素

2つの整数

と

が、

と

以外に公約数を持たないとき、すなわち

のとき、

と

は「互たがいに素そ」であるといいます。例えば

なので、

と

は互いに素です。

3素数

正の約数が

と

だけである、

以上の整数

のことを、「素数そすう」といいます。言い換えると素数とは、

以上の整数のうち、と自分自身以外の正の整数では割り切れない数のことです。素数でない

以上の整数を「合成数ごうせいすう」といいます。

素数を小さい順に並べると「

」と無限に続いていきます。「

」が素数に含まれていないのは、

と自分自身以外である「

」で割り切れるためです。

素数は、「エラトステネスの篩ふるい」という方法で得ることができます。これは「

以上の整数のうち、どの素数の倍数でもないものは素数である」ことを利用した方法で、図3-1のように行います。

3.1素因数分解

すべての正の整数は、素数の積(掛け算)で表すことができます。例えば累乗を使うと、「

」「

」のように表せます。このように正の整数を素数の積で表すことを、「素因数分解そいんすうぶんかい」といいます。

どの正の整数も必ず素因数分解することができ、そのパターンは(積の順序を無視すれば)1通りに限られます。この性質は「素因数分解そいんすうぶんかいの一意性いちいせい」と呼ばれ、他の定理を証明するのにとても役立ちます。

素数に「

」を含めない理由は、

を素数に含めると、「

」のように素因数分解の一意性が成り立たなくなるためです。

4不定方程式

さて、それでは今までに紹介した整数の性質を応用した具体的な問題に挑戦してみましょう。「不定方程式ふていほうていしき」と呼ばれる問題です。

「方程式ほうていしき」とは、「

を満たす

を求めよ」のような、等式を成立させる変数の値を求める問題のことです。このとき、等式が成立するような変数の値のことを、方程式の「解かい」といいます。

方程式のうち「不定方程式」とは、方程式の解が無数にあるものを指します。例えば「

を満たす

と

の組み合わせを求めよ」のようなものです。この場合、「

」や「

」などが解となります。

このように不定方程式では方程式の解が無数にありますが、数学の大会では、条件を付けることで解の個数を有限個にして出題されます。その条件をいかに利用して解くかというところに、パズルのような面白さがあります。

4.1問題

それでは不定方程式の具体的な問題として、図4-1に挑戦しましょう。

4.2解法

まずは、不定方程式を組み立てます。

桁の整数

を上の桁から1桁ずつ

、

と置くと(例えば

の場合は

、

)、逆順にしたときに元の数の

倍になることから図4-2の方程式が出来上がります。

このままではこの式は4つの変数を含んだ不定方程式で解が無数に存在しますので、様々な条件を利用して解を絞り込んでいきます。

4.3aの値を求める

まず

の場合は

が

桁以下になってしまうので、

であるといえます。また、

の場合は

倍すると

桁以上になってしまうため、

といえます。つまり、はかのどちらかとなります。

ここで仮に

だとすると、方程式は「

」となり、右辺の一の位が「

」になっています。

倍して一の位が

になる整数はありませんので、

の場合に解は存在しないことが判ります。よって、解が存在するとしたらの場合のみとなります。

4.4dの値を求める

を代入すると、方程式は「

」になります。ここで右辺の一の位は「

」ですが、

倍して一の位が

になる整数の一の位は、「

」「

」しかありませんので、よって左辺の一の位であるはかとなります。

ここで

だとすると、方程式は「

」になりますが、この式を整理すると「

」になり、

に

～

のどの値を入れても

は負の数になるため、

であることが判ります。よって、解が存在するとしたらの場合のみとなります。

4.5bとcの値を求める

を代入すると、方程式は「

」になり、これを整理すると「

」となります。ここで「

」が整数になるためには、とする必要があり、それ以外はありえません。

を、

に代入して、

より、です。

よって、

、

より、です。

より、

倍すると確かにもとの数の逆順になることが解ります。

5有理数と実数

さて、ここまで整数について扱ってきましたが、ここからはさらに細かな「実数じっすう」を扱います。実数とは、いわゆる「小数」のことです。

5.1有理数

「整数整数」の分数で表せる、分母が

以外の数を「有理数ゆうりすう」といいます。例えば、「

」や「

」は有理数です。「

」という小数も、「

」という分数で表せるので有理数です。

このとき、有理数全体の集合を「」と表すことにします。つまり、「

」です。

5.2無理数

有理数以外の実数を「無理数むりすう」といいます。無理数には、例えば円周率「

」や、

の値「

」などがあります。これらは「整数

整数」の分数で表すことができません。

「

」のように数字が循環する小数は必ず「整数

整数」の分数に直すことができ、有理数になります。「

」も、「

」と循環しているので有理数です。循環しない小数は必ず無理数になります。

有理数と無理数を合わせて「実数」といいます。実数全体の集合を「」と表すことにします。

補足

ここで「実数」を曖昧な定義で使ってしまいましたが、厳密に定義することもできます。いくつか定義の方法はありますがその1つを簡単に言うと、有理数を限りなくたくさん並べていくと何かの数に限りなく近づくことがあります。その数は有理数ではないことがあり、それを無理数と定義します。有理数と無理数を合わせて実数です。