第2話 集合と自然数 第4話 実数と写像

2024年12月21日くいなちゃん

「くいなちゃん数学」第3話では、自然数に負の数を含めた、整数について解説します！ 第1話から読み進めていることを想定しています。
第2話では、集合と自然数と加算の公理を使って「」を証明しました。 しかし、これらの公理を持ち出さなくてもわたしたちは「」であることを確信しています。 そこで、前回のような方法で「」や「」などを証明していくことはやめ、その気になればこれらも証明可能であるとした上で、今後は「本当に成り立つかどうか判らないこと」に焦点を当てて進めることにします。

1整数

第2話で、自然数を「」という集合で表しましたが、これらのうち以外にマイナスを付けた数を含めたものを「整数せいすう」といいます。 つまり整数全体の集合をとすると、「」となります。
より大きい数を「正せい」の数といい、より小さい数を「負ふ」の数といいます。 はどちらでもありません。
どのような2つの整数に対しても、加算「」や減算「」や乗算「」が行えることはご存知の通りです。 「」は「」と書かれたり、しばしば乗算の記号が省略されて「」と書かれます。

1.1累乗


整数と、以上の整数に対し、「を回掛けた数」を「」と表して「累乗るいじょう」といいます。 例えば「」は「」、つまりです。 「」は「」、つまりです。
ただし、でない任意の数に対し、「」とします。 例えば「」「」です。
補足

「2の5乗は32」「2の4乗は16」「2の3乗は8」「2の2乗は4」「2の1乗は2」と見ていくと、結果が半分ずつになっていっているため、「2の0乗は1」と考えることが自然だと分かります。

「」は、便宜上「」と定義されることもありますが、様々な理由から多くの場合には定義されません。
補足

「0の0乗」が通常定義されない理由の1つは、「3の0乗は1」「2の0乗は1」「1の0乗は1」と見ていくと「0の0乗は1」と考えることが自然なのに対し、「0の3乗は0」「0の2乗は0」「0の1乗は0」と見ていくと「0の0乗は0」と考えることが自然となって矛盾するためです。

累乗には図1-1の法則が成り立ちます。
図1-1: 指数法則
(1)は、「(が個)」と「(が個)」を掛けると、全部で「(が個)」になることから明らかです。
(2)は、割り算によっての個数が相殺されるため、の数が引き算になります。
(3)は、「(が個)」自体が個あるということなので、「(が個)」となります。
(4)は、「(とがそれぞれ個ずつ)」なので、順番を入れ替えて「(とがそれぞれ個ずつ)」となります。

1.2絶対値


さて、整数がからどれだけ離れているかを、の「絶対値ぜったいち」といい、「」と表します。 例えばの絶対値は「」、の絶対値は「」です。
絶対値とは、「正の数のときはそのままで、負の数のときはマイナスを取った数」と考えても良いでしょう。
より厳密に定義すると、図1-2となります。

以下を満たすをの絶対値という。

  • のとき、。
  • のとき、。
図1-2: 絶対値の定義
例えばの場合、なので、です。

2整数の性質

さて、ここからは整数の様々な性質について解説します。

2.1商と余り


2つの整数の除算()は、その値が整数にならないことがあります。 そこで、計算結果が整数になる「商しょう」と「余あまり」というものを定義します。
「」をしたとき、「商」とは、個のものを人に配ったときの1人あたりの個数のことです。 「余り」は、配りきれずに残った個数です。 例えば、「」の商は、余りはです。
「の商は、余りは」とは「個のものを人に配ったとき、1人あたり個ずつになり個余る」ということですが、言い換えると「1人あたり個のものが、人分あり、それと余りの個を合わせると個になる」ことと同じなので、「」と書けます。 つまり、「の商と余り」とは、「」を満たす数と定義できます(図2-1)。

整数と、以外の整数に対し、「」をしたときの商と余りとは、それぞれ「 」を満たす整数とである。

図2-1: 商と余りの定義
例えば「」を考えると、商が、余りになりますが、図2-1の式のに、に、商に、余りにを入れると「 」となり、確かに数式を満たしていることが分かります。
図2-1でがのときは商や余りが定義されません。 つまり「」などは定義されません。

2.2割り切る、約数、倍数


「」の余りがであれば、「はを割わり切きる」といいます。 例えば「」は余りがなので、はを割り切ります。 また「」も余りがなので、はを割り切ります。
そしてはを割り切るとき、はの「約数やくすう」といい、またはの「倍数ばいすう」といいます。 例えばはを割り切るため、はの約数、はの倍数です。 はを割り切るため、はの約数、はの倍数です。
そして、の約数とは、を割り切る数なので小さい順に列挙すると、「」となります。 また、の倍数とは、「」となり、つまり偶数全体になります。
とはすべての整数を割り切るため、の倍数やの倍数は整数全体になります。 を除くすべての整数はを割り切るため、の約数は、を除く整数全体になります。

2.3公約数、公倍数


さて、2つ以上の整数の、共通の約数と倍数を考えましょう。
との共通の約数のことを、との「公約数こうやくすう」といいます。 言い換えると、はを割り切り、はを割り切るとき、整数を、との「公約数」といいます。 例えば、はを割り切り、はを割り切るので、はとの公約数の1つです。
との共通の倍数のことを、との「公倍数こうばいすう」といいます。 言い換えると、はを割り切り、はを割り切るとき、整数を、との「公倍数」といいます。 例えば、はを割り切り、はを割り切るので、はとの公倍数の1つです。

2.4最大公約数と最小公倍数


との公約数のうち最大のものを、との「最大公約数さいだいこうやくすう」といい、よく「」と表します。 また、との正の公倍数のうち最小のものを、との「最小公倍数さいしょうこうばいすう」といい、よく「」と表します。
補足

gcdは「greatest common divisor (最大公約数)」の略、lcmは「least common multiple (最小公倍数)」の略です。

例えば、の約数は全部で「」で、の約数は全部で「」です。 このとき、との公約数は共通の「」となり、最大公約数はそのうち最大のものなので、です。
また、の正の倍数は「」で、の正の倍数は「」です。 このとき、との正の公倍数は共通の「」となり、最小公倍数はそのうち最小のものなので、です。
正の整数に対して、「」が成り立つという法則があります。 例えば、「」でしたので、「」に代入して「」より「」となって成り立っていることが分かります。 これを使えば、最大公約数と最小公倍数のどちらかが分かればもう一方は簡単に計算できます。

2.5ユークリッドの互除法


最大公約数を安直に求めると時間がかかりますが、図2-2に示した「ユークリッドの互除法ごじょほう」という方法を使うと早く求まります。
  1. 最大公約数を求めたい2つの整数のうち、大きいほうを、小さいほうをとおく。
  2. をしたときの余りをとおく。
  3. このときであれば、との最大公約数は、との最大公約数に等しい。 よって、との最大公約数を求めることにして(1)に戻る。
  4. 一方でであれば、との最大公約数は、である。(計算終了)
図2-2: ユークリッドの互除法
例えば、との最大公約数をユークリッドの互除法で求めた結果は、図2-3の通りです。
  • とのうち、大きいほうは、小さいほうはなので、、とおく。
  • つまりの余りは、なので、「との最大公約数は、との最大公約数に等しい」ことにより、。
  • 同様に、、として繰り返すと、。
  • ここで、の余りはなので、より、。
  • よって、。
図2-3: 128と80の最大公約数
一般的には、共通の約数を列挙するよりも単に割り算を繰り返すほうが簡単なので、この方法が便利になります。

3素数

正の約数がとだけである、以上の整数のことを、「素数そすう」といいます。 例えばは、正の約数がとだけなので素数です。 は、正の約数がとの他にもあるため、素数ではありません。
言い換えると素数とは、以上の整数のうち、「『と自分自身』以外の正の整数では割り切れない数」のことです。 素数でない以上の整数を「合成数ごうせいすう」といいます。
素数を小さい順に並べると「」と続いていきます。 素数は無限に存在します。 また、素数の現れ方は不規則に見え、その規則を捉えるための研究が古代から現在にいたるまで続いています。
素数は、「エラトステネスの篩ふるい」という方法で得ることができます。 これは「以上の整数のうち、他の素数の倍数でないものは素数である」ことを利用した方法で、図3-1のように行います。
エラトステネスの篩
図3-1: エラトステネスの篩

3.1素因数分解


すべての正の整数は、素数の積(掛け算)で表すことができます。 例えば、「」「」「」などです。 このように正の整数を素数の積で表すことを、「素因数分解そいんすうぶんかい」といいます。
また素因数分解したときに現れるそれぞれの素数を「素因数そいんすう」といいます。 例えば「」なので、の素因数はとです。
どの正の整数も必ず素因数分解することができ、そのパターンは、積の順序を無視すれば1通りに限られます。 例えば累乗を使って表すと、「」「」「」「」「」「」のようになります。 この性質は「素因数分解そいんすうぶんかいの一意性いちいせい」と呼ばれ、他の定理を証明するのに役立ちます。
素数に「」を含めない理由は、を素数に含めると、「」となって、素因数分解の一意性が成り立たなくなるためです。

3.2互いに素


2つの整数とが、と以外に公約数を持たないとき、すなわちのとき、とは「互たがいに素そ」であるといいます。 例えばなので、とは互いに素です。
正の整数とが「互いに素」であるとは、とに「共通の素因数がない」ことと同値です。 例えば、、より、とには共通の素因数が含まれていないため互いに素といえます。

4合同式

さて、割り算の余りの話に戻りますが、「をで割った余りは」で、「をで割った余りも」で、一致しています。 これは、「整数をで割った余りの世界ではが成り立っている」と言えるでしょう。 このようにで割った余りが一致しているとき、「とはを法ほうとして合同ごうどう」といい、「 」と書きます。
また一般に、との余りが一致しているとき、「とはを法として合同」といい、「 」と書きます。 一致していないときは「 」と書きます。 このように書いた式を「合同式ごうどうしき」といいます。
例えば、「をで割った余り」は「をで割った余り」と同じなので、「 」となります。 一方「をで割った余り」は「をで割った余り」と異なるので、「 」となります。
合同式は、両辺に同じ数を足したり引いたり掛けたりしても成立する性質があります(図4-1)。

任意の整数に対し、 が成り立つとき、以下の(1)から(3)が成り立つ。

  1. 任意の整数に対し、 。
  2. 任意の整数に対し、 。
  3. 任意の整数に対し、 。
図4-1: 合同式の性質
例えば、「 」が成り立ちましたので、両辺を倍して「 」も成り立ちます。

5不定方程式

それでは最後に、今までに紹介した整数の性質を応用した具体的な問題に挑戦してみましょう。 「不定方程式ふていほうていしき」と呼ばれる問題です。
「方程式ほうていしき」とは、「を満たすを求めよ」のような、等式を成立させる変数の値を求める問題のことです。 このとき、等式が成立するような変数の値のことを、方程式の「解かい」といいます。
方程式のうち「不定方程式」とは、方程式の解が無数にあるものを指します。 例えば「を満たすとの組み合わせを求めよ」のようなものです。 この場合、「」や「」などが解となります。
このように不定方程式では方程式の解が無数にありますが、条件を付けることで、解の個数が有限個になることがあります。 今回はその条件を利用することで、パズルのように解ける問題を見ていきましょう。

5.1問題


それでは不定方程式の具体的な問題として、図5-1に挑戦しましょう。

問題

をとすることを「逆順にする」ということにする。 このとき、ある桁の整数を逆順にすると、もとの数の倍になった。 の値を求めよ。

図5-1: 不定方程式の問題

5.2解法


まずは、不定方程式を組み立てましょう。 桁の整数を上の桁から1桁ずつ、、、と置きます。 例えば、の場合は、、、です。 すると、はと表せます。
このとき、逆順にしたときに元の数の倍になることから、図5-2の方程式が出来上がります。

図5-2: 不定方程式
左辺はを倍した数、右辺はを逆順にした数です。
このままではこの式は4つの変数を含んだ不定方程式で解が無数に存在しますので、様々な条件を利用して解を絞り込んでいきましょう。

5.3aの値を求める


まずの場合はが桁以下になってしまうので、必ずであるといえます。 また、の場合は倍すると桁以上になってしまうため、といえます。 つまり、はかのどちらかとなります。
ここで仮にだとすると、方程式は「」となり、右辺の一の位が「」になっています。 左辺は整数を倍した数ですが、倍して一の位がになる整数はありませんので、左辺と右辺は常に一致しません。 つまり、の場合に解は存在しないことが判ります。 よって、解が存在するとしたらの場合のみとなります。

5.4dの値を求める


を代入すると、方程式は「」になります。 ここで右辺の一の位は「」ですが、倍して一の位がになる整数の一の位は、「」「」しかありませんので、よって左辺の一の位であるはかとなります。
ここでだとすると、方程式は「」になりますが、この式を整理すると「」になり、に～のどの値を入れてもは負の数になるため、であることが判ります。 よって、解が存在するとしたらの場合のみとなります。

5.5bとcの値を求める


を代入すると、方程式は「」になり、この式を変形すると「」となります。 ここで「」が整数になるためには、に～の数を当てはめてみると、だけであることが分かります。
を、に代入して、より、です。
よって、、、、より、です。 試しにを計算すると、となって、確かに「倍するともとの数の逆順になっている」ことが分かります。
今回は、整数の基本的な性質を紹介しました。 次回は「実数」と、これらの数を扱う上で重要となる「関数」や「写像」を説明します！
第2話 集合と自然数 第4話 実数と写像
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