第3話 整数 第5話 距離と図形

2024年12月31日くいなちゃん

「くいなちゃん数学」第4話では、数と数を結びつける関数や写像を解説します！ 第1話から読み進めていることを想定しています。
第3話で、整数「」を定義しました。 今回は、いわゆる小数である有理数「」や実数「」と、関数や写像について解説します。

1有理数と実数

さて、ここまで整数について扱ってきましたが、ここからはさらに細かな「有理数ゆうりすう」や「実数じっすう」を扱います。 これらは、いわゆる「小数」のことです。

1.1有理数


「整数整数」の分数で表せる、分母が以外の数を「有理数ゆうりすう」といいます。 例えば、「」や「」や「」は有理数です。 「」という小数も、「」という分数で表せるので有理数です。
このとき、有理数全体の集合を「」と表すことにします。 つまり、「」です。

1.2小数から分数への変換


ちなみに、「」のように数字が循環する小数は必ず「整数整数」の分数に直すことができ、有理数になります。 「」も、「」と循環しているので有理数です。
「」のように循環している小数を分数に直す方法は図1-1の通りです。
  • とおく。
  • 小数の循環している一周分が小数点の左に出るように、両辺にの累乗の数を掛ける。 つまり、。
  • の両辺から、の両辺をそれぞれ引く。 つまり、。
  • 式を変形して、より、。
図1-1: 小数から分数への変換
循環する小数であればどんな小数も、この方法で分数に直せます。

1.3無理数


一方で、循環しない小数のことを、「無理数むりすう」といいます。 無理数は、「整数整数」の分数で表せません。 無理数には、例えば円周率「」や、乗するとになる数「」があります。
そして、有理数と無理数を合わせて「実数」といいます。 実数全体の集合を「」と表すことにします。
補足

この「実数」の定義には、「小数」という曖昧なものを使ってしまいましたが、より厳密に定義することもできます。 いくつか定義の方法はありますがその1つを簡単に言うと、有理数を限りなくたくさん並べていくと何かの数に限りなく近づくことがあります。 その数は有理数ではないことがあり、それを無理数と定義します。 有理数と無理数を合わせて実数です。

さて、すべての自然数は、整数の中に含まれます。 また、すべての整数は、有理数の中に含まれます。 従って、今までに紹介した数は図1-2のような包含関係になります。

自然数整数有理数実数

図1-2: 主な数の包含関係

1.4主な演算


有理数および実数には、整数と同様に、2つの数に対して、加算「」、減算「」、乗算「」、累乗「」、絶対値「」が定義されています。 またでないに対して、除算「」も定義されています。 ただしがの場合、例えば「」などは未定義です。
さらに実数には、「平方根へいほうこん」が定義されます。 「の平方根」とは、「」を満たすのことです。 例えば「の平方根」とは、「」および「」なので「」の2つです。 同様に、「の平方根」は、「」です。
平方根のうち正の数のほうを「正せいの平方根へいほうこん」といい「」の記号で表します。 つまり「」「」です。
またこれを拡張して、「」を満たすの値を「の乗根じょうこん」といいます。 そして、正のの乗根を「」と表します。 例えば「」なので、「」です。
正の平方根の値をいくつか挙げると、表1-1のようになります。
表1-1: 正の平方根の値
正の平方根
正の平方根をグラフで表示すると、図1-3のようになります。 が未満の場合には、乗してになる実数が存在しないため、は定義されません。
正の平方根のグラフ
図1-3: 正の平方根のグラフ
ちなみに、は無理数になります。 簡単ですので、証明してみましょう(図1-4)。
  • 以下では、もしが有理数であるなら矛盾することを示し、消去法では無理数だと証明する。
  • まず、「は有理数」だと仮定する。 すると有理数の定義と、より、ある正の整数を使って「」と表せることになる。
  • 両辺を二乗して「」。 両辺にを掛けて、「」。
  • は正の整数なので、「」の両辺とも正の整数になり、両辺はそれぞれ素因数分解が可能。 両辺をそれぞれ素因数分解すると、素因数分解の一意性により、両辺の素因数は一致するはずである。
  • を二乗すると、それらの素因数の個数は二倍になるため、「」と「」の素因数のうちの個数はそれぞれ偶数個である。 すると、「」の素因数のうちの個数は、左辺は奇数個、右辺は偶数個となり、一致せず矛盾。
  • よって、「は有理数」という命題は偽になることが分かったので、排中律により、「は有理数でない」という命題が真になる。 つまり、は無理数である。(証明終)
図1-4: 無理数の証明
このように、「が成り立つと仮定してわざと矛盾を導き、消去法でを証明する」という証明方法を「背理法はいりほう」といいます。

2多次方程式

2.1一次方程式


それでは、実数の方程式に挑戦してみましょう。 まずは簡単な図2-1の問題です。

問題

を満たすをすべて求めよ。

図2-1: 一次方程式の問題
「(ただし)」の形の方程式は「一次方程式いちじほうていしき」と呼ばれます。 一次方程式は両辺に同じ数を足したり掛けたりするだけで簡単に解けます(図2-2)。
  • の両辺にを足して、。
  • の両辺をで割って、。
  • よって、を満たすは。
図2-2: 一次方程式の問題の答え

2.2二次方程式


次はやや複雑な、図2-3の問題です。

問題

を満たすをすべて求めよ。

図2-3: 二次方程式の問題
「(ただし)」の形の方程式は「二次方程式にじほうていしき」と呼ばれます。 二次方程式は、「」の形に変形できれば簡単に解けるため、この形になることを目指します。
まず、「」の式の左辺を展開します。 「」という規則がありますので、これを繰り返し適用すると、「」と変形でき、問題の式に近づきました。
この「」と問題の式「」を見比べると、「」のところに、「」のところにがあるため、「足して」「掛けて」となるように適当に数字を当てはめて考えれば「」だと分かります。
「」と「」は同じ式だったので、得られたを「」に代入して、「」とします。 すると、「」と「」を掛けるとになるという意味ですので、少なくとも一方がでなければなりません。
「」がの場合を考えると、だと分かります。 「」がの場合を考えると、だと分かります。 両方同時にになることはありません。 よって、これらが解の全部です。 つまりを満たすは、です。

2.3二次方程式の解の公式


ちなみに、二次方程式の解は「二次方程式にじほうていしきの解かいの公式こうしき」と呼ばれる図2-4の式でも解けます。
二次方程式の解の公式
図2-4: 二次方程式の解の公式
確かに、先ほどと同じ解が得られました。

3写像

さて最後に、関数と写像について解説します。
「写像しゃぞう」とは、ある集合のすべての元それぞれをある集合の元に対応付けるもので、「関数かんすう」と呼ばれることもあります。 図3-1における、元と元とを結ぶ「矢印」の集まりに相当するものが写像です。
写像
図3-1: 写像
写像が集合の元と集合の元を対応付けることを「」と表します。 またこのとき、集合の元に対応する集合の元を「」と表します。
「」のとき、集合のどのような元に対しても、対応する元は集合に1つだけ存在します。 対応先が存在しなかったり、複数存在することはありません。
また写像は、同じ集合の間で対応付けることもできます。 つまり「」であっても構いません。
例えば、自然数全体の集合に対し、の元を2倍する「」は、写像「」となります(図3-2)。
「f(x)=2x」の写像
図3-2: 「f(x)=2x」の写像

3.1全射、単射、全単射


「」において、の元がのすべての元を余すところなく対応付けている場合、を「全射ぜんしゃ」といいます。 厳密には、集合のすべての元に対するを集めたものが集合と一致したとき、は全射です。
また、のそれぞれの元に対応するの元に重複が無いとき、を「単射たんしゃ」といいます。 厳密には、の任意の異なる2つの元に対し、必ずとが異なるとき、は単射です。
写像が全射かつ単射であるとき、を「全単射ぜんたんしゃ」といいます。 このとき、の元との元がちょうど1対1で対応する形になります。
全射、単射、全単射のイメージを図3-3にまとめました。
全射、単射、全単射
図3-3: 全射、単射、全単射

3.2逆写像


写像の、元の対応の向きを逆にした写像を、の「逆写像ぎゃくしゃぞう」といい「」と表します。 厳密に説明するとややこしいですが、「」「」の2つの写像が、の任意の元に対して常に「」を満たし、の任意の元に対して常に「」を満たすとき、はの逆写像「」です。
例えば、「」という写像「」と、「」という写像「」を考えると、対応の向きが逆になっていますのではの逆写像「」だといえます(図3-4)。
逆写像
図3-4: 逆写像
ちなみに、写像が全単射でなければ、に逆写像は存在しません。 またが全単射であれば、必ずの逆写像が存在し、それは1種類しかありません。
今回は、実数や写像について解説しました。 次回は、三角形や円などの様々な図形について解説します！
第3話 整数 第5話 距離と図形
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