今回は、第5話で解説した「距離空間」を使って、「![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/eq.png)
」を説明します。
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
1点列の極限
1.1点列の収束
まず、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/dots.png)
という写像
を考えます。 このとき、1次元ユークリッド空間で考えると、
が大きくなるほど、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
と
との距離「![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/abs.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
」は小さくなります。 例えば、![](/s/n.png)
![](/s/eq.png)
のとき、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
なので、![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/abs.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/abs.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
のようにかなり小さいです(表1-1)。
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/9.png)
![](/s/f.png)
![](/s/n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/1.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/abs.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/abs.png)
![](/s/n.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/5.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/abs.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/abs.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
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では、この距離![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
はどこまで小さくなりますでしょうか。 ![](/s/vepsilon.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
としたとき、この
よりも小さくなりますでしょうか。 例えばこの場合、極端に![](/s/n.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
などとすると「![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/lt.png)
」となることは明らかです。
がさらに小さくなっても、
をさらに大きくすれば「![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/lt.png)
」となるでしょう。
![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/vepsilon.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/vepsilon.png)
![](/s/n.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/lt.png)
![](/s/vepsilon.png)
![](/s/vepsilon.png)
![](/s/n.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/lt.png)
![](/s/vepsilon.png)
このように、どんなに小さな(ただし
よりは大きい)
が指定されても、
を大きくすれば、
より大きいすべての自然数![](/s/n.png)
に対し![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/prime.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/lt.png)
とできるとき、「![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
は
に収束する」といい、「![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
」と表します(図1-1)。
![](/s/0.png)
![](/s/vepsilon.png)
![](/s/n.png)
![](/s/n.png)
![](/s/n.png)
![](/s/prime.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/prime.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/lt.png)
![](/s/vepsilon.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/a.png)
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![f(n)の収束](/images/mathematics/basic6/431187581253_ja.png)
先ほどの![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
、という写像の例では、「![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
は
に収束する」つまり「![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
」になります。
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/1.png)
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
「![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/lt.png)
」の
を限りなく小さくできるということは、直観的には「
が限りなく大きくなるとき、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
は
に限りなく近づく」と考えることもできます。
![](/s/d.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/lt.png)
![](/s/vepsilon.png)
![](/s/vepsilon.png)
![](/s/n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/a.png)
また、この「![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
」という数式は、「
が限りなく大きくなるときに![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
が限りなく近づく値![](/s/eq.png)
」ということを表していますが、「![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
」自体と「
」とが等しくなるとは限りません。 実際、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
、といくら続けても、「![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
」になることはありません。 あくまで「限りなく近づく値」です。
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/a.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
ちなみに「![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
」という数に関して説明すると、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
、と続けたときに、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
が収束する値が「![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
」と表現されています。 ![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
は
に収束するため、これは
に等しい「![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/eq.png)
」です。
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/1.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
以上が「![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/eq.png)
」の解説です。
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
1.2点列の発散
さて、ついでに![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
が収束しない場合についても解説しておきましょう。
を限りなく大きくしても![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
がどの実数にも収束しないとき、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
は「発散する」といいます。 発散には、「正の無限大に発散する」「負の無限大に発散する」「振動する」の3種類があります(図1-2)。
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![f(n)の発散](/images/mathematics/basic6/121088725337_ja.png)
図のように、どんなに大きな実数
が指定されても、
を大きくすれば、
より大きい任意の自然数![](/s/n.png)
に対し![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/prime.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/gt.png)
とできるとき、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
は「正の無限大に発散する」といい、「![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
」と表します。 直観的には、「
が限りなく大きくなるとき、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
が限りなく大きくなる」と言えます。
![](/s/l_k.png)
![](/s/n.png)
![](/s/n.png)
![](/s/n.png)
![](/s/prime.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/prime.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/gt.png)
![](/s/l_k.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/inf.png)
![](/s/n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
同様に図のように、どんなに小さな実数
が指定されても、
を大きくすれば、
より大きい任意の自然数![](/s/n.png)
に対し![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/prime.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/lt.png)
とできるとき、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
は「負の無限大に発散する」といい、「![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/sub.png)
」と表します。 直観的には、「
が限りなく大きくなるとき、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
が限りなく小さくなる」と言えます。
![](/s/l_k.png)
![](/s/n.png)
![](/s/n.png)
![](/s/n.png)
![](/s/prime.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/prime.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/lt.png)
![](/s/l_k.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/inf.png)
![](/s/n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
これ以外の場合、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
は「振動する」といいます。 収束せず、
や![](/s/sub.png)
への発散もしないということは、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
は増減を繰り返しているに違いないため「振動」と表現されています。
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/inf.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/inf.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
以上のように、
を限りなく大きくしたときの![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
の向かう先を、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
の「極限」といいます。 極限をまとめると、表3-2のようになります。
![](/s/n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
数式での表現 |
---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
正の無限大に発散する | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
負の無限大に発散する | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
それ以外 | 振動する | (なし) |
2冪
さて、この「極限」を使うと、実数における「![](/s/a.png)
(累乗)」を拡張することができます。
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
累乗とは、「![](/s/2.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/2.png)
![](/s/mul.png)
」のように、
と
以上の整数
に対し「
を
回掛けた数」のことでした。 この
を「![](/s/2.png)
」のように、任意の実数に拡張することを考えます。
![](/s/2.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/2.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/2.png)
![](/s/a.png)
![](/s/0.png)
![](/s/b.png)
![](/s/a.png)
![](/s/b.png)
![](/s/b.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_sqrt_2.png)
このように任意の実数![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
に対して拡張された「![](/s/a.png)
」のことを、「冪」といいます。
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
2.1負の数の冪
まずは、「![](/s/2.png)
![](/s/sup_sub.png)
」のような、負の数での冪を定義します。 図2-1のように、![](/s/2.png)
の「
」が
減るごとに「![](/s/2.png)
」は
倍されますので、
が負の数のときもその延長で「![](/s/2.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
」、「![](/s/2.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
」、…、と自然に定義できます。
![](/s/2.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_2.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/b.png)
![](/s/1.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/1_div_2.png)
![](/s/b.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/2.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/4.png)
![負の数の冪](/images/mathematics/basic6/603628762047.png)
これを一般化して、「![](/s/a.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
」と定義します。 例えば、「![](/s/3.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/8.png)
」です。
![](/s/a.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/3.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/8.png)
![](/s/1.png)
2.2有理数の冪
次は、「![](/s/2.png)
」のような、有理数の冪を定義します。
![](/s/2.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
「![](/s/a.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
」から分かる通り、一般に「![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/sup_add.png)
」という法則が成り立ちます。 ここで「![](/s/2.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/2.png)
」を考えると、「![](/s/2.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/sup_add.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/eq.png)
」となり、これは「![](/s/2.png)
」を
回掛けた数が「
」になることを意味します。 そして
回掛けた数が
になる数とは「
」のことなので、「![](/s/2.png)
」の値は「
」といえます。 同様に、「![](/s/3.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/eq.png)
」「![](/s/5.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/eq.png)
」です。
![](/s/a.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_5.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/sup_add.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/sup_add.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/2.png)
![](/s/2.png)
![](/s/2.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sqrt_2.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/sqrt_2.png)
![](/s/3.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/sqrt_3.png)
![](/s/5.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/sqrt_5.png)
これを一般化して、「![](/s/a.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/sup_slash.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/eq.png)
」と定義します。 「
」とは、以前説明した通り「
乗すると
になる負でない数」です。 例えば、「![](/s/1.png)
![](/s/6.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/sup_slash.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/sqrt_4_16.png)
![](/s/eq.png)
」です。
![](/s/a.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/sup_slash.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/sqrt_b_a.png)
![](/s/sqrt_b_a.png)
![](/s/b.png)
![](/s/a.png)
![](/s/1.png)
![](/s/6.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/sup_slash.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/sqrt_4_16.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
また、「![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/sup_mul.png)
」から分かる通り、一般に「![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/sup_mul.png)
」という法則が成り立ちます。 よって「![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/sup_slash.png)
」という有理数の冪を考えると、「![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/sup_slash.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/sup_slash.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/sup_pr.png)
![](/s/sup_mul.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/sup_slash.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/pr.png)
」とすることで、これまでに説明した内容を使って計算できる形になります。 つまりあらゆる有理数
に対して「![](/s/a.png)
」が計算できることが解ります。
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_4.png)
![](/s/sup_mul.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/sup_mul.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/sup_slash.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/sup_slash.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/sup_slash.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/sup_pr.png)
![](/s/sup_mul.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/sup_slash.png)
![](/s/sup_c.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/b.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
2.3無理数の冪
それでは、「![](/s/2.png)
」のような、無理数の冪を定義します。
![](/s/2.png)
![](/s/sup_sqrt_2.png)
以前説明した通り、「
」とは「![](/s/1.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/4.png)
![](/s/1.png)
![](/s/4.png)
![](/s/2.png)
![](/s/1.png)
![](/s/3.png)
![](/s/5.png)
![](/s/6.png)
」と延々と続く無理数であるため「![](/s/2.png)
」はここまでの冪の定義では計算できません。 そこで「![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/4.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/4.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/4.png)
![](/s/1.png)
![](/s/4.png)
![](/s/comma.png)
」という、
の小数点以下第
桁目を切り捨てる写像を「![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
」としたときの、「![](/s/2.png)
![](/s/sup_f.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_n.png)
」の値を考えることにします。
![](/s/sqrt_2.png)
![](/s/1.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/4.png)
![](/s/1.png)
![](/s/4.png)
![](/s/2.png)
![](/s/1.png)
![](/s/3.png)
![](/s/5.png)
![](/s/6.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_sqrt_2.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/4.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/4.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/4.png)
![](/s/1.png)
![](/s/4.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/sqrt_2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_f.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/sup_pr.png)
このとき、以前説明した通り「循環する小数は有理数である」ため、
の小数点以下第
桁目を切り捨てた「![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
」は有理数となるので、任意の
に対して「![](/s/2.png)
![](/s/sup_f.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_n.png)
」がこれまでの方法で計算できることになります。
![](/s/sqrt_2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/n.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_f.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/sup_pr.png)
そこで、この
を限りなく大きくしたときに![](/s/n.png)
![](/s/sup_f.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_n.png)
が限りなく近づく実数を、「![](/s/2.png)
」の値とみなすことにするわけです。 つまり、「![](/s/2.png)
![](/s/sup_sqrt_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_f.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_n.png)
」と定義します。
![](/s/n.png)
![](/s/n.png)
![](/s/sup_f.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/sup_pr.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_sqrt_2.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_sqrt_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_f.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/sup_pr.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_f.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/sup_pr.png)
![](/s/n.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_sqrt_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/6.png)
![](/s/6.png)
![](/s/5.png)
![](/s/1.png)
![](/s/4.png)
![](/s/4.png)
![](/s/1.png)
![](/s/4.png)
![](/s/dots.png)
![]() |
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![]() |
![]() |
限りなく大きい | 限りなく![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
これを一般化して、任意の無理数
に対し「![](/s/a.png)
」は、
の小数点以下
桁目を切り捨てた数を![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
として「![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_f.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_n.png)
」と定義します。
![](/s/b.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/b.png)
![](/s/n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_f.png)
![](/s/sup_pl.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/sup_pr.png)
以上により、(一部を除く)任意の実数![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
に対して「![](/s/a.png)
」が定義できました。
![](/s/a.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/b.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
2.40の0乗
ただし、以前説明した通り「![](/s/0.png)
」は定義されないことがあります。 なぜなら、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/sup_dot.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/sup_dot.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/sup_dot.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/comma.png)
、と考えると![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
は
に収束しますが、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/comma.png)
、と考えると![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
は
に収束するため、近づき方によって![](/s/0.png)
は1つに定まらないからです。
![](/s/0.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/sup_dot.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/sup_dot.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/sup_dot.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/0.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sup_0.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/sup_0.png)
また、「![](/s/a.png)
」の値が実数にならない場合も「![](/s/a.png)
」は定義できません。 例えば、「![](/s/pl.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
」は「![](/s/pl.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/eq.png)
」となりますが、「
」は実数ではないため(2乗して-1になる数は実数に存在しない)定義しません。
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/a.png)
![](/s/sup_b.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sup_1_div_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/sqrt_sub_1.png)
![](/s/sqrt_sub_1.png)
3数列と級数
最後に、「数列」と「級数」について説明しておきます。
3.1数列
「数列」とは、![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/dots.png)
のように、数が並んでいるもののことです。 ![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
から順に数だけを並べて、例えば「![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
」などと表記することが多いです。 数が有限個の数列を「有限数列」、無限個の数列を「無限数列」といいます。
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/9.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/0.png)
![](/s/dot.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
有名な数列には、「![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/5.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/7.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
」のように隣り合う数の差が一定で並ぶ「等差数列」や、「![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/4.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/8.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/6.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/3.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
」のように隣り合う数の比が一定で並ぶ「等比数列」、「![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/5.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/8.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/2.png)
![](/s/1.png)
」のように前2つの数の和が次の数になっている「フィボナッチ数列」などがあります。
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/5.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/7.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/4.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/8.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/6.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/3.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/5.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/8.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/2.png)
![](/s/1.png)
![](/s/dots.png)
3.2級数
「級数」とは、数列の各数を足し合わせたものです。 例えば、「![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
」という数列に対する級数は「![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/4.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
」です。 有限数列に対する級数は「有限級数」、無限数列に対する級数は「無限級数」といいます。
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/4.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/4.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
「![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
」という数列に対する級数は、しばしば簡潔に「![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/i.png)
」と表されます。 「
」は「シグマ」というギリシャ文字の記号です。
の下に「![](/s/i.png)
![](/s/eq.png)
」と書き、上に「
」と書くと、
の右に書いた式を
が
から
まで順に足し合わせる意味になります。 つまり「![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/i.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
」です。
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/i.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/tlsigma.png)
![](/s/tlsigma.png)
![](/s/i.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/b.png)
![](/s/tlsigma.png)
![](/s/i.png)
![](/s/a.png)
![](/s/b.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/i.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
例えば、「![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/4.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/6.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/4.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
」という数列は、「![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
」と表せますので、これに対する級数は「![](/s/sigma_i_1_4.png)
![](/s/2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/4.png)
![](/s/add.png)
![](/s/6.png)
![](/s/add.png)
![](/s/8.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
」です。
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/4.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/6.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/4.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/8.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/sigma_i_1_4.png)
![](/s/2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/4.png)
![](/s/add.png)
![](/s/6.png)
![](/s/add.png)
![](/s/8.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/0.png)
3.3級数に関する定理
級数には、数列を順に足さなくても瞬時に結果が求められる便利な定理がいくつもありますので、代表的なものを紹介します。 特に、無限級数においては無限に数列を足し合わせることは不可能なので、これらの定理と極限を組み合わせて「![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/i.png)
」のように求めます。
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/f.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/i.png)
![](/s/pr.png)
まずは単純な、![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
の級数の計算です。 例えば
が![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
の場合、![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
という数は、両端をペアにして入れ替えると![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/9.png)
![](/s/8.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/5.png)
![](/s/0.png)
![](/s/add.png)
![](/s/5.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
となり、![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/5.png)
であることが分かります。 この方法を使うと、一般に![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
は、![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/2.png)
で計算できます。 整理してまとめると、「![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/i.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1_div_2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
」となります。
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/n.png)
![](/s/n.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/0.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/9.png)
![](/s/9.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/9.png)
![](/s/8.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/5.png)
![](/s/0.png)
![](/s/add.png)
![](/s/5.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/1.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/5.png)
![](/s/0.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/add.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/i.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1_div_2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sup_2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/3.png)
![](/s/sup_2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/n.png)
![](/s/sup_2.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/i.png)
![](/s/sup_2.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1_div_6.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/3.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/n.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/i.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1_div_2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/add.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sup_2.png)
一般的な等差数列に対する級数「![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/2.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/3.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/d.png)
」は、![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/i.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/d.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1_div_2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/d.png)
で求まります。 例えば、![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/5.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/7.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
の数列に対する級数は、![](/s/a.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/d.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/n.png)
![](/s/eq.png)
なので、![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/i.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/d.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1_div_2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1_div_2.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/6.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/6.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/4.png)
です。
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/2.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/3.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/i.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/d.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1_div_2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/5.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/7.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/9.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/3.png)
![](/s/a.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/d.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/n.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/6.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/i.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/d.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1_div_2.png)
![](/s/n.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/n.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/d.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1_div_2.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/6.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/2.png)
![](/s/mul.png)
![](/s/3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/6.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/4.png)
![](/s/8.png)
一般的な等比数列に対する級数「![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/add.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/sup_sub.png)
(ただし![](/s/r.png)
![](/s/neq.png)
)」は、![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_i.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
で求まります。 例えば、![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/4.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/8.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/6.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/3.png)
の数列に対する級数は、![](/s/a.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/n.png)
![](/s/eq.png)
なので、![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_i.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_6.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/6.png)
です。
![](/s/a.png)
![](/s/add.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/add.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_2.png)
![](/s/add.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_3.png)
![](/s/add.png)
![](/s/dots.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/r.png)
![](/s/neq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_i.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/4.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/8.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/1.png)
![](/s/6.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/3.png)
![](/s/2.png)
![](/s/a.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/2.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/n.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/6.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_i.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/2.png)
![](/s/sup_6.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/2.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/6.png)
![](/s/3.png)
3.4無限級数の問題
それでは、無限級数の問題を解いてみましょう(図3-1)。
が収束する先を求めよ。
無限に足し続ける必要があるため、等比数列に対する級数の式「![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_i.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
」の
を限りなく大きくして、「![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_i.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
」で求めます。
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_i.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/n.png)
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/sigma_i_1_n.png)
![](/s/a.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_i.png)
![](/s/sup_sub.png)
![](/s/sup_1.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/r.png)
![](/s/1.png)
![](/s/n.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/0.png)
![](/s/lim_n_inf.png)
![](/s/a.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/sup_n.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/a.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/a.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/3.png)
![](/s/comma.png)
![](/s/r.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/3.png)
![](/s/a.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/r.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/sub.png)
![](/s/pl.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/3.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/pr.png)
![](/s/eq.png)
![](/s/1.png)
![](/s/slash.png)
![](/s/2.png)
今回は、極限、冪、数列、級数について説明しました。 次回は、この極限を使って図形の接線の傾きを求める「微分」について解説します!