第3話
質点系と剛体と弾性体

第2話までは、質点が2つ以下の場合を扱ってきました。 今回は、質点が複数の場合を扱います。

質点が複数になると、途端に計算が複雑になります。 前回は恒星と惑星の2質点の運動を考えましたが、これが恒星と惑星と衛星の3質点になると、それだけで一般に厳密な解が求められなくなることが数学的に証明されています。

ただし個々の質点は計算できなくても、全体的な性質として計算できるものがあります。 そこで各質点の計算は置いておいて、質点全体をひとまとめにして扱うことを考えます(図1-1)。

この図の左のように質点がたくさんあったとき、それを大胆にも右のように、質量の分布を平均した位置にある1つの点と見なします。 そのような点のことを「質量中心しつりょうちゅうしん」といいます。 数式で表すと図1-2の通りです。

すると全質点が等速直線運動しているとき、全質点の運動を計算してから質量中心を求めることと、質量中心そのものが等速直線運動しているとして計算することは、同じ結果になります。 またたくさんの質点に外から力を加わえてから質量中心を求めることと、質量中心そのものに力が加わったとして計算することも、同じ結果になります。

つまり複数の質点の質量中心を考えれば、複数の質点のことは忘れて、質量中心の1点を計算するだけで済みます。 このことは、複数の質点が互いに力を及ぼし合っている場合でも変わりません。 作用・反作用の法則によって、他の質点に与えた力とそのときに他の質点から受けた力は打ち消し合い、質量中心には影響しないためです。

たくさんの質点が、それぞれの位置関係を変えずに、ひとまとまりになって運動するものを「剛体ごうたい」といいます。 全く変形しない強固な物体のイメージです。

わたしたちの周りの多くの物体は、力を加えてもほとんど変形しないので、物体をたくさんの質点の集まりと見なして「剛体」として近似することができます。

剛体は質点の集まりなので、剛体の位置がどう変化するかは質量中心の運動を計算することで求まります。 ただし剛体には、位置の変化のほかに回転も考えられます。 剛体に及ぼす力によって剛体が回転した場合、その回転させようとした性質のことをその力の「モーメント」といいます(図2-1)。

この図は剛体がシーソーのような動きをしている状況です。 回転軸を原点としての位置にの力がかかるとき、力のモーメントはベクトルの外積を使って、となります。 すなわち、ベクトルの大きさをそれぞれとし、その間の角をとすると、外積の性質より、力のモーメントの大きさはで求まります。

では理解を深めるために、剛体に関する問題を解いてみましょう(図2-3)。

まずは、棒を剛体とみなして力を全部書き出し、運動方程式を作成します(図2-4)。

糸が棒を引く力をとし、棒と壁の間に働く力のうち方向を、方向をとしました。 の棒を剛体とみなすと、質量中心は真ん中、つまり壁からのところになりますので、そこに重力加速度がかかっていると考えます。

まず力のモーメントを考えてみます。 棒の回転は、棒と壁の間が回転軸になります。 時計回りと反時計回りの力のモーメント()が釣り合っていることを式にすると、となります。 これを解くと、が得られます。

すると水平方向の運動方程式は、の水平成分とが釣り合っていることからとなります。 だったので代入して、です。

垂直方向の運動方程式は、の垂直成分と壁の摩擦と重力加速度が釣り合っていることからとなります。 だったので代入して、です。

以上、糸が棒を引く力は、棒と壁の間に働く力の水平方向は、垂直方向はが答えです。

現実の物体は、変形しないように見えても厳密には全く変形しない剛体ではなく、力を加えると小さく変形して、力がなくなると元の形へ復元しています。 このように、変形したときに元の形に戻ろうとする物体を「弾性体だんせいたい」といいます。

現実の物体を扱う場合、大まかな運動は剛体で近似し、物体内部にかかる力は弾性体で近似すると良いでしょう。

弾性体に力が加わるとき、弾性体の内部では、場所によって異なる力が働いています。 このような、それぞれの微小な領域に働く力を「応力おうりょく」といいます(図3-1)。

そして弾性体の内部の微小な立方体に着目したときの、立方体の各面に働く力によって、この応力は表されます。 この立方体には6面ありますが、向かい合う面に働く力は、片面が分かればもう片面が分かります。 つまり、X、Y、Zの3面だけで応力が表現できます(図3-2)。

図のように、X、Y、Zの3面それぞれに、X方向、Y方向、Z方向の3軸方向の力が働くため、応力は全部で9個の力の組み合わせになります。 この9個の力の組み合わせを、「応力おうりょくテンソル」といいます。 応力テンソルは、図のようによく行列の形で表されます。

この「テンソル」とは、厳密に説明するとややこしいためざっくりと説明すると、スカラーとは数値が次元(点)に並んだもの、ベクトルとは数値が次元(線)に並んだものとすると、一般化して次元に並んだものを「階かいのテンソル」といいます。 応力テンソルは次元に並んでいますので、階のテンソルです。

では応力の例を見ていきましょう。

弾性体の中の微小な立方体のX軸方向に、力で引っ張ると、図3-3のようになります。

Xの面にX方向の力がかかるだけなので、応力テンソルはがとなり、それ以外はすべてになります。

このとき、引く方向に力が働くと弾性体の長さは伸び、押す方向に力が働くと弾性体の長さは縮み、この伸び縮みの長さは力の大きさに比例します。 この比例定数を「ヤング率りつ」といいます。

一方、弾性体の中の微小な立方体を引っ張って菱形に変形させるように力を加えると、図3-4のようになります。

Xの面をY方向にずらそうとし、Yの面をX方向にずらそうとするため、応力テンソルはがとなり、それ以外はすべてになります。

このとき、ずれの角度は力の大きさに比例します。 この比例定数を「剛性率ごうせいりつ」といいます。

ヤング率や剛性率は、物体の材質によって決まっています。 例えば金は、ヤング率が、剛性率がとされています。

今回は、たくさんの質点を扱う方法について説明しました。 ここまでは主に固体を扱ってきましたが、次回は液体や気体を扱います！