2022年10月03日くいなちゃん


6さいからの数学」第6話では、0.9999...=1であることや、累乗を実数に拡張した「冪」、そして級数について解説します!
今回は、第5話で解説した「距離空間」を使って、「」を説明します。

1点列の極限

1.1点列の収束



まず、という写像「」を考えます。 このとき、1次元ユークリッド空間「」で考えると、が大きくなるほど、との距離「は小さくなります。 例えば、のとき、なので、のようにかなり小さいです(表1-1)。
表1-1: d(f(n),1)の値
では、この距離はどこまで小さくなりますでしょうか。 としたとき、このよりも小さくなりますでしょうか。 例えばこの場合、極端になどとすると「」となることは明らかです。 がさらに小さくなっても、をさらに大きくすれば「」となるでしょう。
このように、どんなに小さな(ただしよりは大きい)が指定されても、を大きくすれば、より大きいすべての自然数に対しとできるとき、「収束しゅうそくする」といい、「」と表します(図1-1)。
f(n)の収束
図1-1: f(n)の収束
先ほどの、という写像の例では、「に収束する」つまり「」になります。
」のを限りなく小さくできるということは、直観的には「が限りなく大きくなるとき、に限りなく近づく」と考えることもできます。
また、この「」という数式は、「が限りなく大きくなるときにが限りなく近づく値」ということを表していますが、「」自体と「」とが等しくなるとは限りません。 実際、、といくら続けても、「」になることはありません。 あくまで「限りなく近づく値」です。
ちなみに「」という数に関して説明すると、、と続けたときに、が収束する値が「」と表現されています。 に収束するため、これはに等しい「」です。
以上が「」の解説です。

1.2点列の発散



さて、ついでに収束しない場合についても解説しておきましょう。 を限りなく大きくしてもがどの実数にも収束しないとき、は「発散はっさんする」といいます。 発散には、「正の無限大に発散する」「負の無限大に発散する」「振動する」の3種類があります(図1-2)。
f(n)の発散
図1-2: f(n)の発散
図のように、どんなに大きな実数が指定されても、を大きくすれば、より大きい任意の自然数に対しとできるとき、は「せい無限大むげんだい発散はっさんする」といい、「」と表します。 直観的には、「が限りなく大きくなるとき、が限りなく大きくなる」と言えます。
同様に図のように、どんなに小さな実数が指定されても、を大きくすれば、より大きい任意の自然数に対しとできるとき、は「無限大むげんだい発散はっさんする」といい、「」と表します。 直観的には、「が限りなく大きくなるとき、が限りなく小さくなる」と言えます。
これ以外の場合、は「振動しんどうする」といいます。 収束せず、への発散もしないということは、は増減を繰り返しているに違いないため「振動」と表現されています。
以上のように、を限りなく大きくしたときのの向かう先を、の「極限きょくげん」といいます。 極限をまとめると、表3-2のようになります。
表1-2: 極限
が限りなく大きくなるときの の極限 数式での表現
はaに限りなく近づく に収束する
は限りなく大きくなる 正の無限大に発散する
は限りなく小さくなる 負の無限大に発散する
それ以外 振動する (なし)

2

さて、この「極限」を使うと、実数における「(累乗)」を拡張することができます。
累乗とは、「」のように、以上の整数に対し「回掛けた数」のことでした。 このを「」のように、任意の実数に拡張することを考えます。
このように任意の実数に対して拡張された「」のことを、「べき」といいます。

2.1負の数の冪



まずは、「」のような、負の数での冪を定義します。 図2-1のように、の「」が減るごとに「」は倍されますので、が負の数のときもその延長で「」、「」、…、と自然に定義できます。
負の数の冪
図2-1: 負の数の冪
これを一般化して、「」と定義します。 例えば、「」です。

2.2有理数の冪



次は、「」のような、有理数の冪を定義します。
」から分かる通り、一般に「」という法則が成り立ちます。 ここで「」を考えると、「」となりますが、これは「」を回掛けた数が「」になることを意味しますので、「」の値は「」といえます。 同様に、「」「」です。
これを一般化して、「」と定義します。 「」とは、以前説明した通り「乗するとになる負でない数」です。 例えば、「」です。
また、「」から分かる通り、一般に「」という法則が成り立ちます。 よって「」という有理数の冪を考えると、「」とすることで、これまでに説明した内容を使って計算できる形になりますので、あらゆる有理数に対して「」が計算できることが解ります。

2.3無理数の冪



それでは、「」のような、無理数の冪を定義します。
以前説明した通り、「」とは「」と延々と続く無理数であるため「」はここまでの冪の定義では計算できません。 そこで「」という、の小数点以下第桁目を切り捨てる写像を「」としたときの、「」の値を考えることにします。
このとき、以前説明した通り「循環する小数は有理数である」ため、の小数点以下第桁目を切り捨てた「」は有理数となるので、任意のに対して「」がこれまでの方法で計算できることになります。
そこで、このを限りなく大きくしたときにが限りなく近づく実数を、「」の値とみなすことにするわけです。 つまり、「」と定義します。
を大きくしていくと、表2-1のように「」となることが解ります。
表2-1: 無理数の冪の計算
限りなく大きい 限りなくに近づく
これを一般化して、任意の無理数に対し「」は、の小数点以下桁目を切り捨てた数をとして「」と定義します。
以上により、(一部を除く)任意の実数に対して「」が定義できました。

2.40の0乗



ただし、以前説明した通り「」は定義されないことがあります。 なぜなら、、と考えるとに収束しますが、、と考えるとに収束するため、近づき方によっては1つに定まらないからです。
また、「」の値が実数にならない場合も「」は定義できません。 例えば、「」は「」となりますが、「」は実数ではないため(2乗して-1になる数は実数に存在しない)定義しません。
ここまでに説明したことを踏まえ、主な冪の法則まとめると、図2-2の通りになります。
主な冪の法則
図2-2: 主な冪の法則

3数列と級数

最後に、「数列」と「級数」について説明しておきます。

3.1数列



数列すうれつ」とは、のように、数が並んでいるもののことです。 から順に数だけを並べて、「」と表記することが多いです。 数が有限個の数列を「有限数列ゆうげんすうれつ」、無限個の数列を「無限数列むげんすうれつ」といいます。
有名な数列には、「」のように隣り合う数の差が一定で並ぶ「等差数列とうさすうれつ」や、「」のように隣り合う数の比が一定で並ぶ「等比数列とうひすうれつ」、「」のように前2つの数の和が次の数になっている「フィボナッチ数列すうれつ」などがあります。

3.2級数



級数きゅうすう」とは、数列の各数を足し合わせたものです。 例えば、「」という数列に対する級数は「」です。 有限数列に対する級数は「有限級数ゆうげんきゅうすう」、無限数列に対する級数は「無限級数むげんきゅうすう」といいます。
」という数列に対する級数は、しばしば簡潔に「」と表されます。 「」は「シグマ」というギリシャ文字の記号です。 の下に「」と書き、上に「」と書くと、の右に書いた式をからまで順に足し合わせる意味になります。 つまり「」です。
例えば、「」という数列は、「」と表せますので、これに対する級数は

3.3級数に関する定理



級数には、数列を順に足さなくても瞬時に結果が求められる便利な定理がいくつもありますので、代表的なものを紹介します。 特に、無限級数においては無限に数列を足し合わせることは不可能なので、これらの定理と極限を組み合わせて「」のように求めます。
まずは単純な、の級数の計算です。 例えばの場合、という数は、両端をペアにして入れ替えるとなり、であることが分かります。 この方法を使うと、一般には、で計算できます。 整理してまとめると、「」となります。
の級数の計算は、証明はややこしいため結果だけ書くと、となります。 の級数の結果は、です。
一般的な等差数列に対する級数「」は、で求まります。 例えば、の数列に対する級数は、なので、です。
一般的な等比数列に対する級数「(ただし)」は、で求まります。 例えば、の数列に対する級数は、なので、です。
今回は、極限、冪、数列、級数について説明しました。 次回は、この極限を使って図形の接線の傾きを求める「微分」について解説します!
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