第5話
距離と図形

Ⅰ. 結合の公理

1. 任意の異なる2点に対し、それらを含む直線が存在する。
2. 任意の異なる2点に対し、それらを含む直線は複数存在しない。
3. 任意の直線は2点以上を含む。 1直線上に無いような3点以上が存在する。
4. 1直線上に無い任意の3点に対し、それらを含む平面が存在する。 任意の平面は1点以上を含む。
5. 1直線上に無い任意の異なる3点に対し、それらを含む平面は複数存在しない。
6. ある直線上の異なる2点がある平面上にあるならば、その直線上のすべての点はその平面上にある。
7. 2平面がある点を共に含んでいるならば、その2平面はその点の他に1つ以上の点を共に含んでいる。
8. 1平面上に無いような4点以上が存在する。

Ⅱ. 順序の公理

1. 点が点と点の間にあるならば、はとの間にあり、これら3点を含む直線が存在する。
2. 点と点が異なるとき、「との間にがある」とできるような直線上の点が存在する。
3. 1直線上にある任意の異なる3点に対し、「他の2点の間にある」という点は複数存在しない。
4. 点が1直線上に無く、それらのいずれの点も含まない直線が平面上にあるとき、もしその直線が線分上のある点を含むならば、線分もしくは線分上のある点を含む。

Ⅲ. 合同の公理

1. 直線上に点があり、直線上に点があり、によって分断されたの片側が指定されているとき、「線分と線分は合同である」とできるような点が存在する。
2. 線分が線分および線分と合同ならば、とは合同である。
3. 線分が1直線上にあって、点以外に共通の点を持たず、線分が1直線上にあって、点以外に共通の点を持たないとき、とが合同かつとが合同ならば、とも合同である。
4. 角が平面上にあり、直線が平面上にあり、によって分断されたの片側が指定され、上の点からに沿った半直線が出ているとき、「もしくはがと合同である」とできるような半直線が、の指定された側にただ1つ存在する。
5. 1直線上に無い点に対し、線分と線分が合同で、線分と線分が合同で、角と角が合同であるとき、角と角は合同である。

Ⅳ. 平行線の公理

1. 任意の直線と、が含まない任意の点があるとき、とを含む平面上に、を含んでと共通の点を含まない直線は複数存在しない。

Ⅴ. 連続性の公理

1. 任意の線分に対し、どのような自然数が指定されても、点から出て点を含む半直線上に、と合同な個の線分を並べて作ることができる。
2. 順序や合同の関係を維持したまま、直線に新たな点を含めて拡張することはできない。

定義

• 異なる2点の組を線分といい、と表す。
• 2点を通る直線上に点があり、がとの間にあるとき、は線分の上にあるという。
• 平面上に直線と、上に無い2点があるとき、とが等しいか線分ととが共通の点を持たないならば、上でとはに対して同じ側にあるという。
• 直線上に点と、と異なる2点があるとき、とが等しいかが線分に含まれないならば、上でとはに対して同じ側にあるという。
• 直線上に異なる2点があるとき、上でに対してと同じ側にある点全体を、から出てを含む半直線という。
• 同じ点から出る2つの半直線の組を角といい、上の任意の点と、上の任意の点を用いて、と表す。

• 点が1直線上にあると三角形にならないので、点は1直線上に無いとする。
• このときヒルベルトの公理Ⅲ-5より、とおくと、線分と線分が合同で、線分と線分が合同で、角と角が合同であるので、角と角は合同である。 従って、角と角は合同である。(証明終)

平面上に異なる2点があるとき、「点から出て線分と合同」となるような上のすべての線分に対し、点をすべて集めたものを円という。

2つの三角形が以下のいずれかを満たすとき、これらは合同である。

1. 「3辺が等しい。」 つまりと、と、とが合同である。
2. 「2辺とその間の角が等しい。」 つまりと、と、とが合同である。
3. 「1辺とその両端の角が等しい。」 つまりと、と、とが合同である。

2つの三角形、が以下のいずれかを満たすとき、これらは相似である。

1. 「3辺の比が等しい。」 つまりである。
2. 「2辺の比が等しく、その間の角が等しい。」 つまり、かつとが合同である。
3. 「2つの角が等しい。」 つまりと、とが合同である。

三角形において、点を通る直線が上の点で直角に交わるとき、線分の長さを「高さ」と呼び、線分の長さを「底辺」と呼ぶ。 このとき、三角形の面積を「底辺高さ」と定義する。

集合のつの元を実数に対応付ける写像「」が以下を満たすとき、を距離という。

の任意の元に対し、

1. 。
2. となるのはのとき、またそのときに限る。
3. 。
4. 。