６さいからの数学

第5話
距離空間と極限と冪

第4話写像と有理数と実数第6話図形と三角関数

2021年09月18日くいなちゃん

「６さいからの数学」第5話では、0.9999...=1であることや、累乗を実数に拡張した「2^√2」などについて解説します！

今回は

を説明しますが、その前に第4話で説明した実数

を拡張して、平面や立体が扱えるようにします。

1直積

を、

から

まで続く数直線だとイメージすると、

の2つの元のペアを集めた集合は、無限に広がる2次元平面のイメージになります(図1-1)。

このように、2つの集合

の元の組み合わせでできるペアをすべて集めた集合を、

と

の「直積ちょくせき」といい「

」と表します。掛け算の記号と同じですが、意味は同じではありません。例えば上の図では、

と

の直積で「

」になります。また、

のことはしばしば「

」と表されます。

同様に、この「

」と「

」の元のペアを集めた集合「

」は、無限に広がる3次元立体のイメージになります(図1-2)。

「

」のことはしばしば「

」と表されます。

同様に、4次元の「

」、5次元の「

」、…、とどこまでも考えることができます。これらを一般化して「

」と表します。

また、これらの集合

の元のことを「点てん」といいます。

の点は実数が

個で構成されますが、点を構成するそれらの実数「

」の組を「座標ざひょう」といい、お馴染みの「

」で表します。例えば、「

」は

の点の座標の一つです。

という数は、この1次元の

にある一つの点といえます。

2距離

2.1ユークリッド距離とマンハッタン距離

さて、このような

の中に、点と点の「距離きょり」を定めます。

わたしたちは日常的に図2-1の左側のようなものを「距離」と呼びますが、図の右側のように縦か横にしか移動できないものが2点間を最短で進むときの長さも、数学では「距離」として扱えます。

この図の左側のような、わたしたちが日常的に使う距離は「ユークリッド距離きょり」といいます。

の2点

に対して座標を

とすると、

と

のユークリッド距離「

」は「

」で計算できます。例えば、点

、点

のとき、

と

のユークリッド距離は「

」です。

の場合のユークリッド距離は、点

、点

に対し、「

」で計算できます。

また

の場合のユークリッド距離は、点

、点

に対し、「

」となります。

また、図の右側のような距離は「マンハッタン距離きょり」といい、点

、点

に対し、「

」で計算できます。

2.2距離の定義

さて、ユークリッド距離もマンハッタン距離も数学では「距離」として扱えますが、他にどのようなものが距離として扱えるかといいますと、図2-2の条件を満たすものはすべて数学で「距離」といいます。

つまり、ユークリッド距離やマンハッタン距離はこの「距離の定義」を満たしているため、数学で「距離」として扱えるわけです。

2.3距離空間

このように数学では様々な距離を考えることができるため、

などの集合に対して、どのような距離を使うのかが重要になってきます。

そこで、集合と距離とをセットにし、「(集合,距離)」と表されるようになりました。これを「距離空間きょりくうかん」といいます。「空間くうかん」とは、集合と何かしらのルール(距離など)をセットにしたものです。

例えば、ユークリッド距離「

」に対して、

はそれぞれ距離空間です。特にこれらの距離空間には名前が付けられており、それぞれ「1次元ユークリッド空間」、「2次元ユークリッド空間」、「3次元ユークリッド空間」、…、「n次元ユークリッド空間」と呼ばれます。

ユークリッド距離はよく使われるため、単に

の集合が示されて距離が示されていないときには、暗黙的にn次元ユークリッド空間だとされることが多いです。

3点列の極限

3.1点列の収束

それではいよいよ、「

」を説明します。

まず、

という写像「

」を考えます。このとき、1次元ユークリッド空間「

」で考えると、

が大きくなるほど、

と

との距離「

」は小さくなります。例えば、

のとき、

なので、

のようにかなり小さいです(表3-1)。

では、この距離

はどこまで小さくなりますでしょうか。

としたとき、この

よりも小さくなりますでしょうか。例えばこの場合、極端に

などとすると「

」となることは明らかです。

がさらに小さくなっても、

をさらに大きくすれば「

」となるでしょう。

このように、どんなに小さな(ただし

よりは大きい)

が指定されても、

を大きくすれば、

より大きいすべての自然数

に対し

とできるとき、「

は

に収束しゅうそくする」といい、「

」と表します(図3-1)。

先ほどの

、という写像の例では、「

は

に収束する」つまり「

」になります。

「

」の

を限りなく小さくできるということは、直観的には「

が限りなく大きくなるとき、

は

に限りなく近づく」と考えることもできます。

また、この「

」という数式は、「

が限りなく大きくなるときに

が限りなく近づく値

」ということを表していますが、「

」自体と「

」とが等しくなるとは限りません。実際、

、といくら続けても、「

」になることはありません。あくまで「限りなく近づく値」です。

ちなみに「

」という数に関して説明すると、

、と続けたときに、

が収束する値が「

」と表現されています。

は

に収束するため、これは

に等しい「

」です。

以上が「

」の解説です。

3.2点列の発散

さて、ついでに

が収束しない場合についても解説しておきましょう。

を限りなく大きくしても

がどの実数にも収束しないとき、

は「発散はっさんする」といいます。発散には、「正の無限大に発散する」「負の無限大に発散する」「振動する」の3種類があります(図3-2)。

図のように、どんなに大きな実数

が指定されても、

を大きくすれば、

より大きい任意の自然数

に対し

とできるとき、

は「正せいの無限大むげんだいに発散はっさんする」といい、「

」と表します。直観的には、「

が限りなく大きくなるとき、

が限りなく大きくなること」と言えます。

同様に図のように、どんなに小さな実数

が指定されても、

を大きくすれば、

より大きい任意の自然数

に対し

とできるとき、

は「負ふの無限大むげんだいに発散はっさんする」といい、「

」と表します。直観的には、「

が限りなく大きくなるとき、

が限りなく小さくなること」と言えます。

これ以外の場合、

は「振動しんどうする」といいます。収束せず、

や

への発散もしないということは、

は増減を繰り返しているに違いないため「振動」と表現されています。

以上のように、

を限りなく大きくしたときの

の向かう先を、

の「極限きょくげん」といいます。極限をまとめると、表3-2のようになります。

が限りなく大きくなるとき	の極限	数式での表現
はaに限りなく近づく	に収束する
は限りなく大きくなる	正の無限大に発散する
は限りなく小さくなる	負の無限大に発散する
それ以外	振動する	(なし)