Kuina-chan

くいなちゃん2018年12月11日


2と四則演算と累乗を使って、円周率πを作ってみましょう!

[問題] 2と四則演算と累乗を組み合わせて、円周率πを作りなさい。 ただし、3.1415926まで一致していれば良いものとする。
今回は、この問題に挑戦してみましょう。

1ライプニッツの公式

さて、図1-1のように計算し続けていくと、限りなくπの値に近づいていきますが、3.1415926まで一致する頃にはとても長い計算式になってしまいます。
ライプニッツの公式
図1-1: ライプニッツの公式
そこで今回はせっかくですので、2の個数がなるべく少なくなる答えを求めてみましょう。

22進数

まず安直に浮かぶのは、2進数で表す方法です。 目標は3.1415926という有限精度の小数なので、これを2進数の小数に変換して、2のn乗の和で表せば、一つの答えになるはずです。
3.1415926に一致する最短桁数の2進数は、「11.00100100001111110110101」になりましたので、これを2のn乗の和に変換すると、図2-1のようになります。
2進数変換
図2-1: 2進数変換
これでもまだ累乗の部分に2以外の数が使われていますので、これらも2で表そうとすると、相当な長さになりそうです。 諦めて別の方法を探しましょう。

3カステヤノスさんの公式

円周率の近似値を求める公式がいくつも発見されていますので、それをアレンジすることを考えてみます。
3.1415926に一致するシンプルな数式として、ダリオ・カステヤノスさんという方が発見した公式を変形して使ってみます(図3-1)。
カステヤノスの公式
図3-1: カステヤノスの公式
この式により、円周率πは合計35個の2によって表すことができました。 元がシンプルな式でも、2だけで表すと意外と複雑になることが解ります。

4ラマヌジャンの公式

さて、インドの魔術師と呼ばれた数学者、ラマヌジャンの公式を用いれば、さらに少ない個数の2で円周率πが表せることに気付きました(図4-1)。
ラマヌジャンの公式
図4-1: ラマヌジャンの公式
2の個数は、たったの23個となっています。

5くいなちゃんの公式

さらに少ない個数の2で、円周率πを表せないでしょうか。 他の公式を使っても、これ以上はなかなかシンプルに表せませんでした。
そこで、自力で生み出すことを考えました。 わたしが気合いで試行錯誤した結果、図5-1のような式を生み出すことができました。
くいなちゃんの公式
図5-1: くいなちゃんの公式
「くいなちゃんの公式」とでも名付けましょう。 これにより、合計20個の2で円周率πを表すことができました。
ひょっとしたら更に少ない2で、円周率πを表すことも可能かもしれません。 みなさんも是非、挑戦してみてください!

6πで2を作る

最後に、逆に「πで2を作ることはできないか」と思い至ったのですが、考えるまでもありませんでした(図6-1)。
πで2を作る
図6-1: πで2を作る
1544539061jaf