Kuina-chan

くいなちゃん2019年11月18日


6さいからの数学」発展編1、常微分方程式の解き方について説明します!

1常微分方程式

1.1常微分方程式



微分方程式びぶんほうていしき」とは、のように、式に微分が含まれる方程式のことです。 方程式を満たす未知の関数を求めることを目的とします(この式の場合はを求める)。
物理学では、位置を時間で微分すると速度になり、速度を時間で微分すると加速度になることから、それらの方程式を考えるとたいてい微分方程式になり、それを解くことが重要になります。
微分方程式に含まれる関数のうち、未知のものが1つの場合を「常微分方程式じょうびぶんほうていしき」といい、今回説明します。

1.2一般解と特殊解と特異解



常微分方程式の解には、例えばがあります。 を微分すると、になるため、確かに解になっていることが分かります。
しかしこのという解は、実はという、より一般的な解の特殊なケースになっています(は任意の定数)。 を微分すると、となり、確かに解になっていて、このの解にを代入したものがになっています。
このの解のように、他の解を含む一般的な解のことを「一般解いっぱんかい」といい、一般解の定数(先ほどの)に具体的な値を代入した解のことを「特殊解とくしゅかい」といいます。
また方程式によっては、一般解の定数に何を代入しても得られない解が存在することがあり、「特異解とくいかい」と呼ばれます。

2求積法

常微分方程式は、実はほとんどの場合、厳密に解くことができません。 厳密に解けるパターンはいくつかに分類されており、以下で順番に説明していきます。 厳密に解けない常微分方程式は、近似的に計算するしかありません。

2.1変数分離形



まずの形の常微分方程式を、「変数分離形へんすうぶんりけい」といいます。 右辺が、の式の積になるケースです。
これを解くには、図2-1の手順で行います。
  1. の場合を考え、両辺をで割って、
  2. 両辺をで積分して、
  3. が積分可能なときとおくと、が成り立つ」という置換積分の公式を使い、
  4. 左辺と右辺の積分の原始関数をそれぞれで表すと、(は任意の定数)。
  5. とおいて、が解。
  6. またの場合も解になるかどうかを考える。
図2-1: 変数分離形の解法
例えば最初のの常微分方程式は、の形になっていますので変数分離形です。 これを解くと図2-2となります。
  1. の場合を考え、の両辺をで割って、
  2. 両辺をで積分して、
  3. 置換積分により、
  4. 左辺と右辺の積分をそれぞれ計算し、
  5. とおいて、
  6. 両辺を指数関数に入れて、。 整理してが解。
  7. またの場合を考えると、これをで微分するとになるため、元のに代入するととなり解となる。
  8. 結局という解と、先ほどのの解を統合して、任意定数を新しく定義し直すとと表せるため、これを一般解とする。
図2-2: 変数分離形の例

2.2同次形



の形の常微分方程式を、「同次形どうじけい」といいます。 右辺がの式になっているケースです。
これを解くには、図2-3の手順で行います。
  1. とおくと、変形して。 この両辺をで微分して
  2. このは、元のの式を使って、。 さらにを使って、。 これを変形して、
  3. とおくと、となり、これは変数分離形であるため、変数分離形として解ける。
図2-3: 同次形の解法
例えば「(ただし)」の常微分方程式を解くと図2-4となります。
  1. 分母分子をで割って
  2. とおくと、変形して、両辺をで微分して。 これらをの両辺に代入して、
  3. 変形して、
  4. これは変数分離系になっているため、変数分離系として解くと、
  5. を代入して整理し、任意定数を新しく定義しなおすとが一般解。
図2-4: 同次形の例

2.3一階線形



の形の常微分方程式を、「一階線形微分方程式いっかいせんけいびぶんほうていしき」といいます。 特にのとき、つまりの場合を「斉次形せいじけい」といい、それ以外の場合を「非斉次形ひせいじけい」といいます。
斉次形は、と変形すると、の形になりますので変数分離形として解けます。 解いた結果は、(は任意定数)になります。 「」とは、指数関数「」の意味です。
非斉次形は、ややこしいため結論だけ書くと、解は「」となります。 詳細は別の記事で扱います。

2.4高階線形



の形の常微分方程式を、「二階線形微分方程式にかいせんけいびぶんほうていしき」といいます。 の場合を斉次形、それ以外の場合を非斉次形といいます。
またこれを一般化して、の形の常微分方程式を、「階線形微分方程式かいせんけいびぶんほうていしき」といいます。 「」は、階微分する意味「」です。 の場合を斉次形、それ以外の場合を非斉次形といいます。
二階以上の線形微分方程式は、解き方が込み入ってくるため、別の記事で扱おうと思います。

2.5ベルヌーイの微分方程式



線形微分方程式でない常微分方程式は、非線形微分方程式ひせんけいびぶんほうていしきといい、一部の形を除いては、これまでのように積分を使って解くことが困難になります。 ここでは容易に解ける特別な例を紹介します。
以外の整数として、の形の方程式を、「ベルヌーイの微分方程式びぶんほうていしき」といい、解き方は図2-5の通りです。
  1. 両辺をで割って、
  2. とおくと、この両辺をで微分して、。 整理して、
  3. これとを先ほどの式に代入して、。 両辺にを掛けて、
  4. これはの形になっているため、一階線形微分方程式であり、一階線形微分方程式として解ける。
図2-5: ベルヌーイの微分方程式の解法

3級数解法

(この項目は執筆中です。)

4ラプラス変換とフーリエ変換

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