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Kuina-chan

くいなちゃんOct 17, 2017


6さいからの数学」第5話では、0,dot,9,9,9,9,dots,eq,1であることや、累乗を実数に拡張した「2,sup_sqrt_2」などについて解説します!

0,dot,9,9,9,9,dots,eq,1を説明する前に、第4話で説明した実数bb_lrを拡張して、平面や立体が扱えるようにします。

直積

bb_lrを、sub,infからadd,infまで続く数直線だとイメージすると、bb_lrの2つの元のペアを集めた集合は、無限に広がる2次元平面のイメージになります(2次元平面)。
2次元平面
2次元平面
このように、2つの集合bm_la,comma,bm_lbの元の組み合わせでできるペアをすべて集めた集合を、bm_labm_lbの「直積ちょくせき」といい「bm_la,mul,bm_lb」と表します。 例えば上の図では、bb_lrbb_lrの直積で「bb_lr,mul,bb_lr」になります。 また、bb_lr,mul,bb_lrのことはしばしば「bb_lr,sup_2」と表されます。
同様に、この「bb_lr,mul,bb_lr」と「bb_lr」の元のペアを集めた集合「bb_lr,mul,bb_lr,mul,bb_lr」は、無限に広がる3次元立体のイメージになります(3次元立体)。
3次元立体
3次元立体
bb_lr,mul,bb_lr,mul,bb_lr」のことはしばしば「bb_lr,sup_3」と表されます。
同様に、4次元の「bb_lr,sup_4」、5次元の「bb_lr,sup_5」、…、とどこまでも考えることができます。 これらを一般化して「bb_lr,sup_n」と表します。
また、これらの集合bb_lr,comma,bb_lr,sup_2,comma,bb_lr,sup_3,comma,dots,comma,bb_lr,sup_nの元のことを「てん」といいます。 bb_lr,sup_2の点が実数2つのペアで構成されたように、bb_lr,sup_nの点は実数がn個で構成されますが、点を構成するそれらの実数「x,comma,y,comma,z,comma,dots」の組を「座標ざひょう」といい、お馴染みの「pl,x,comma,y,comma,z,comma,dots,pr」で表します。 例えば、「pl,3,comma,5,comma,sub,2,pr」はbb_lr,sup_3の点の座標の一つです。
0,dot,9,9,9,9,dotsという数は、この1次元のbb_lrにある一つの点といえます。

距離

ユークリッド距離とマンハッタン距離

さて、このようなbb_lr,sup_nの中に、点と点の「距離きょり」を定めます。
わたしたちは日常的に距離の左側のようなものを「距離」と呼びますが、図の右側のように縦か横にしか移動できないものが2点間を最短で進むときの長さも、数学では「距離」として扱えます。
距離
距離
この図の左側のような、わたしたちが日常的に使う距離は「ユークリッド距離きょり」といいます。 bb_lr,sup_2の2点bm_a,comma,bm_bに対して座標をbm_a,eq,pl,a,sub_x,comma,a,sub_y,pr,comma,bm_b,eq,pl,b,sub_x,comma,b,sub_y,prとすると、bm_abm_bのユークリッド距離「d,pl,bm_a,comma,bm_b,pr」は「d,pl,bm_a,comma,bm_b,pr,eq,sqrt_id1」で計算できます。 例えば、点bm_a,eq,pl,0,comma,0,pr、点bm_b,eq,pl,4,comma,3,prのとき、bm_abm_bのユークリッド距離は「d,pl,bm_a,comma,bm_b,pr,eq,sqrt_id2,eq,sqrt_16_add_9,eq,sqrt_25,eq,5」です。
bb_lr,sup_3の場合のユークリッド距離は、点bm_a,eq,pl,a,sub_x,comma,a,sub_y,comma,a,sub_z,pr、点bm_b,eq,pl,b,sub_x,comma,b,sub_y,comma,b,sub_z,prに対し、「d,pl,bm_a,comma,bm_b,pr,eq,sqrt_id3」で計算できます。
またbb_lrの場合のユークリッド距離は、点bm_a,eq,pl,a,sub_x,pr、点bm_b,eq,pl,b,sub_x,prに対し、「d,pl,bm_a,comma,bm_b,pr,eq,sqrt_id4,eq,abs,a,sub_x,sub,b,sub_x,abs」となります。
また、図の右側のような距離は「マンハッタン距離きょり」といい、点bm_a,eq,pl,a,sub_x,comma,a,sub_y,pr、点bm_b,eq,pl,b,sub_x,comma,b,sub_y,prに対し、「d,pl,bm_a,comma,bm_b,pr,eq,abs,a,sub_x,sub,b,sub_x,abs,add,abs,a,sub_y,sub,b,sub_y,abs」で計算できます。

距離の定義

さて、ユークリッド距離もマンハッタン距離も数学では「距離」として扱えますが、他にどのようなものが距離として扱えるかといいますと、距離の定義の条件を満たすものはすべて数学で「距離」といいます。
集合bm_lm2つの元を実数bb_lrに対応付ける写像「d,colon,bm_lm,mul,bm_lm,aright,bb_lr」が以下を満たすとき、dを距離という。
bm_lmの任意の元x,comma,y,comma,zに対し、
  1. d,pl,x,comma,y,pr,ge,0
  2. d,pl,x,comma,y,pr,eq,0となるのはx,eq,yのとき、またそのときに限る。
  3. d,pl,x,comma,y,pr,eq,d,pl,y,comma,x,pr
  4. d,pl,x,comma,z,pr,le,d,pl,x,comma,y,pr,add,d,pl,y,comma,z,pr
距離の定義
つまり、ユークリッド距離やマンハッタン距離はこの「距離の定義」を満たしているため、数学で「距離」として扱えるわけです。

距離空間

このように数学では様々な距離を考えることができるため、bb_lr,sup_nなどの集合に対して、どのような距離を使うのかが重要になってきます。
そこで、集合と距離とをセットにし、「(集合,距離)」と表されるようになりました。 これを「距離空間きょりくうかん」といいます。 「空間くうかん」とは、集合と何かしらのルール(距離など)をセットにしたものです。
例えば、ユークリッド距離「d」に対して、pl,bb_lr,comma,d,pr,comma,pl,bb_lr,sup_2,comma,d,pr,comma,pl,bb_lr,sup_3,comma,d,pr,comma,dots,comma,pl,bb_lr,sup_n,comma,d,prはそれぞれ距離空間です。 特にこれらの距離空間には名前が付けられており、それぞれ「1次元ユークリッド空間」、「2次元ユークリッド空間」、「3次元ユークリッド空間」、…、「n次元ユークリッド空間」と呼ばれます。
ユークリッド距離はよく使われるため、単にbb_lr,sup_nの集合が示されて距離が示されていないときには、暗黙的にn次元ユークリッド空間だとされることが多いです。

点列の極限

点列の収束

それではいよいよ、「0,dot,9,9,9,9,dots,eq,1」を説明します。
まず、f,pl,0,pr,eq,0,dot,9,comma,f,pl,1,pr,eq,0,dot,9,9,comma,f,pl,2,pr,eq,0,dot,9,9,9,comma,f,pl,3,pr,eq,0,dot,9,9,9,9,comma,dots,comma,f,pl,n,pr,eq,0,dot,9,9,9,9,dots,9という写像「f,colon,bb_ln,aright,bb_lr」を考えます。 このとき、1次元ユークリッド空間「pl,bb_lr,comma,d,pr」で考えると、nが大きくなるほど、f,pl,n,pr1との距離「d,pl,f,pl,n,pr,comma,1,pr」は小さくなります。 例えば、n,eq,5のとき、f,pl,n,pr,eq,0,dot,9,9,9,9,9,9なので、d,pl,f,pl,n,pr,comma,1,pr,eq,abs,0,dot,9,9,9,9,9,9,sub,1,abs,eq,0,dot,0,0,0,0,0,1のようにかなり小さいです(d(f(n),1)の値)。
d(f(n),1)の値
n f,pl,n,pr d,pl,f,pl,n,pr,comma,1,pr,eq,abs,f,pl,n,pr,sub,1,abs
0 0,dot,9 0,dot,1
1 0,dot,9,9 0,dot,0,1
2 0,dot,9,9,9 0,dot,0,0,1
3 0,dot,9,9,9,9 0,dot,0,0,0,1
4 0,dot,9,9,9,9,9 0,dot,0,0,0,0,1
5 0,dot,9,9,9,9,9,9 0,dot,0,0,0,0,0,1
dots dots dots
では、このd,pl,f,pl,n,pr,comma,1,prはどこまで小さくなりますでしょうか。 vepsilon,eq,0,dot,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1としたとき、このvepsilonよりも小さくなりますでしょうか。 例えばこの場合、極端にn,eq,1,0,0などとすると「d,pl,f,pl,n,pr,comma,1,pr,lt,vepsilon」となることは明らかです。 vepsilonがさらに小さくなっても、nをさらに大きくすれば「d,pl,f,pl,n,pr,comma,1,pr,lt,vepsilon」となるでしょう。
このように、どんなに小さな(ただし0よりは大きい)vepsilonが指定されても、nを大きくすれば、nより大きいすべての自然数n,primeに対しd,pl,f,pl,n,prime,pr,comma,a,pr,lt,vepsilonとできるとき、「f,pl,n,pra収束しゅうそくする」といい、「lim_n_inf,f,pl,n,pr,eq,a」と表します(f(n)の収束)。
f(n)の収束
f(n)の収束
先ほどのf,pl,0,pr,eq,0,dot,9,comma,f,pl,1,pr,eq,0,dot,9,9,comma,f,pl,2,pr,eq,0,dot,9,9,9,comma,dots、という写像の例では、「f,pl,n,pr1に収束する」つまり「lim_n_inf,f,pl,n,pr,eq,1」になります。
d,pl,f,pl,n,pr,comma,a,pr,lt,vepsilon」のvepsilonを限りなく小さくできるということは、直観的には「nが限りなく大きくなるとき、f,pl,n,praに限りなく近づく」と考えることもできます。
また、「lim_n_inf,f,pl,n,pr,eq,a」という数式は、「nが限りなく大きくなるときにf,pl,n,prが限りなく近づく値eq,a」ということを表していますが、「f,pl,n,pr」自体と「a」とが等しくなるとは限りません。 実際、f,pl,0,pr,eq,0,dot,9,comma,f,pl,1,pr,eq,0,dot,9,9,comma,f,pl,2,pr,eq,0,dot,9,9,9,comma,dots、といくら続けても、「f,pl,n,pr,eq,1」になることはありません。
ちなみに「0,dot,9,9,9,9,dots」という数に関して説明すると、f,pl,0,pr,eq,0,dot,9,comma,f,pl,1,pr,eq,0,dot,9,9,comma,f,pl,2,pr,eq,0,dot,9,9,9,comma,dots、と続けたときに、f,pl,n,prが収束する値が「0,dot,9,9,9,9,dots」と定義されています。 f,pl,n,pr1に収束するため、これは1に等しい「0,dot,9,9,9,9,dots,eq,1」です。
以上が「0,dot,9,9,9,9,dots,eq,1」の解説です。

点列の発散

さて、ついでにf,pl,n,prが収束しない場合についても解説しておきましょう。 nを限りなく大きくしてもf,pl,n,prがどの実数にも収束しないとき、f,pl,n,prは「発散はっさんする」といいます。 発散には、「正の無限大に発散する」「負の無限大に発散する」「振動する」の3種類があります(f(n)の発散)。
f(n)の発散
f(n)の発散
図のように、どんなに大きな実数l_kが指定されても、nを大きくすれば、nより大きい任意の自然数n,primeに対しf,pl,n,prime,pr,gt,l_kとできるとき、f,pl,n,prは「せい無限大むげんだい発散はっさんする」といい、「lim_n_inf,f,pl,n,pr,eq,inf」と表します。 直観的には、「nが限りなく大きくなるとき、f,pl,n,prが限りなく大きくなること」と言えます。
同様に図のように、どんなに小さな実数l_kが指定されても、nを大きくすれば、nより大きい任意の自然数n,primeに対しf,pl,n,prime,pr,lt,l_kとできるとき、f,pl,n,prは「無限大むげんだい発散はっさんする」といい、「lim_n_inf,f,pl,n,pr,eq,sub,inf」と表します。 直観的には、「nが限りなく大きくなるとき、f,pl,n,prが限りなく小さくなること」と言えます。
これ以外の場合、f,pl,n,prは「振動しんどうする」といいます。 収束せず、infsub,infへの発散もしないということは、f,pl,n,prは増減を繰り返しているに違いないため「振動」と表現されています。
以上のように、nを限りなく大きくしたときのf,pl,n,prの向かう先を、f,pl,n,prの「極限きょくげん」といいます。 極限をまとめると、表3-2のようになります。
極限
nが限りなく大きくなるとき f,pl,n,prの極限 数式での表現
f,pl,n,prはaに限りなく近づく aに収束する lim_n_inf,f,pl,n,pr,eq,a
f,pl,n,prは限りなく大きくなる 正の無限大に発散する lim_n_inf,f,pl,n,pr,eq,inf
f,pl,n,prは限りなく小さくなる 負の無限大に発散する lim_n_inf,f,pl,n,pr,eq,sub,inf
それ以外 振動する (なし)

さて、最後にこの「極限」を使って、実数における「a,sup_b(累乗)」の拡張を行っておきます。
累乗とは、「2,sup_3,eq,2,mul,2,mul,2」のように、a0以上の整数bに対し「ab回掛けた数」のことでした。 このbを「2,sup_sqrt_2」のように、任意の実数に拡張することを考えます。
このように任意の実数a,comma,bに対して拡張された「a,sup_b」のことを、「べき」といいます。

負の数の冪

まずは、「2,sup_sub,sup_2」のような、負の数での冪を定義します。 負の数の冪のように、2,sup_bの「b」が1減るごとに「2,sup_b」は1_div_2倍されますので、bが負の数のときもその延長で「2,sup_sub,sup_1,eq,1,slash,2」、「2,sup_sub,sup_2,eq,1,slash,4」、…、と自然に定義できます。
負の数の冪
負の数の冪
これを一般化して、「a,sup_sub,sup_b,eq,1,slash,a,sup_b」と定義します。 例えば、「3,sup_sub,sup_4,eq,1,slash,3,sup_4,eq,1,slash,8,1」です。

有理数の冪

次は、「2,sup_1_div_2」のような、有理数の冪を定義します。
a,sup_3,mul,a,sup_2,eq,pl,a,mul,a,mul,a,pr,mul,pl,a,mul,a,pr,eq,a,sup_5」から分かる通り、一般に「a,sup_b,mul,a,sup_c,eq,a,sup_b,sup_add,sup_c」という法則が成り立ちます。 ここで「2,sup_1_div_2,mul,2,sup_1_div_2」を考えると、「2,sup_1_div_2,mul,2,sup_1_div_2,eq,2,sup_1_div_2,sup_add,sup_1_div_2,eq,2,sup_1,eq,2」となりますが、これは「2,sup_1_div_2」を2回掛けた数が「2」になることを意味しますので、「2,sup_1_div_2」の値は「sqrt_2」といえます。 同様に、「3,sup_1_div_2,eq,sqrt_3」「5,sup_1_div_2,eq,sqrt_5」です。
これを一般化して、「a,sup_1,sup_slash,sup_b,eq,sqrt_b_a」と定義します。 「sqrt_b_a」とは、以前説明した通り「b乗するとaになる数」です。 例えば、「1,6,sup_1,sup_slash,sup_4,eq,sqrt_4_16,eq,2」です。
また、「pl,a,sup_4,pr,sup_3,eq,a,sup_4,mul,a,sup_4,mul,a,sup_4,eq,a,sup_4,sup_mul,sup_3」から分かる通り、一般に「pl,a,sup_b,pr,sup_c,eq,a,sup_b,sup_mul,sup_c」という法則が成り立ちます。 よって「a,sup_b,sup_slash,sup_c」という有理数の冪を考えると、「a,sup_b,sup_slash,sup_c,eq,a,sup_pl,sup_1,sup_slash,sup_c,sup_pr,sup_mul,sup_b,eq,pl,a,sup_1,sup_slash,sup_c,pr,sup_b」とすることで、これまでに説明した内容を使って計算できる形になりますので、あらゆる有理数bに対して「a,sup_b」が計算できることが解ります。

無理数の冪

それでは、「2,sup_sqrt_2」のような、無理数の冪を定義します。
以前説明した通り、「sqrt_2」とは「1,dot,4,1,4,2,1,3,5,6,dots」と延々と続く無理数であるため「2,sup_sqrt_2」はそのままでは計算できません。 そこで「f,pl,0,pr,eq,1,comma,f,pl,1,pr,eq,1,dot,4,comma,f,pl,2,pr,eq,1,dot,4,1,comma,f,pl,3,pr,eq,1,dot,4,1,4,comma,dots」という、sqrt_2の小数点以下第n桁目を切り捨てる写像を「f,pl,n,pr」としたときの、「2,sup_f,sup_pl,sup_n,sup_pr」の値を考えることにします。
このとき、以前説明した通り「循環する小数は有理数である」ため、sqrt_2の小数点以下第n桁目を切り捨てた「f,pl,n,pr」は有理数となり分数に直せ、任意のnに対して「2,sup_f,sup_pl,sup_n,sup_pr」が計算できることになります。
そこで、このnを限りなく大きくしたときにn,sup_f,sup_pl,sup_n,sup_prが限りなく近づく実数を、「2,sup_sqrt_2」の値とみなすことにするわけです。 つまり、「2,sup_sqrt_2,eq,lim_n_inf,2,sup_f,sup_pl,sup_n,sup_pr」と定義します。
2,sup_f,sup_pl,sup_n,sup_prnを大きくしていくと、無理数の冪の計算のように「2,sup_sqrt_2,eq,2,dot,6,6,5,1,4,4,1,4,dots」となることが解ります。
無理数の冪の計算
n 2,sup_f,sup_pl,sup_n,sup_pr
0 2,sup_1,eq,2
1 2,sup_1,sup_dot,sup_4,eq,2,dot,6,3,9,0,1,5,8,2,dots
2 2,sup_1,sup_dot,sup_4,sup_1,eq,2,dot,6,5,7,3,7,1,6,2,dots
3 2,sup_1,sup_dot,sup_4,sup_1,sup_4,eq,2,dot,6,6,4,7,4,9,6,5,dots
4 2,sup_1,sup_dot,sup_4,sup_1,sup_4,sup_2,eq,2,dot,6,6,5,1,1,9,0,8,dots
5 2,sup_1,sup_dot,sup_4,sup_1,sup_4,sup_2,sup_1,eq,2,dot,6,6,5,1,3,7,5,6,dots
6 2,sup_1,sup_dot,sup_4,sup_1,sup_4,sup_2,sup_1,sup_3,eq,2,dot,6,6,5,1,4,3,1,0,dots
dots dots
限りなく大きい 限りなく2,dot,6,6,5,1,4,4,1,4,dotsに近づく
これを一般化して、任意の無理数bに対し「a,sup_b」は、bの小数点以下n桁目を切り捨てた数をf,pl,n,prとして「a,sup_b,eq,lim_n_inf,a,sup_f,sup_pl,sup_n,sup_pr」と定義します。
以上により、(一部を除く)任意の実数a,comma,bに対して「a,sup_b」が定義できました。

0の0乗

ただし、以前説明した通り「0,sup_0」は定義されないことがあります。 なぜなら、f,pl,0,pr,eq,0,sup_0,sup_dot,sup_1,comma,f,pl,1,pr,eq,0,sup_0,sup_dot,sup_0,sup_1,comma,f,pl,2,pr,eq,0,sup_0,sup_dot,sup_0,sup_0,sup_1,comma,dots、と考えるとf,pl,n,pr0に収束しますが、f,pl,0,pr,eq,0,dot,1,sup_0,comma,f,pl,1,pr,eq,0,dot,0,1,sup_0,comma,f,pl,2,pr,eq,0,dot,0,0,1,sup_0,comma,dots、と考えるとf,pl,n,pr1に収束するため、近づき方によって0,sup_0は1つに定まらないからです。
また、「a,sup_b」の値が実数にならない場合も「a,sup_b」は定義できません。 例えば、「pl,sub,1,pr,sup_1_div_2」は「pl,sub,1,pr,sup_1_div_2,eq,sqrt_sub_1」となりますが、「sqrt_sub_1」は実数ではないため定義しません。
ここまでに説明したことを踏まえ、主な冪の法則まとめると、主な冪の法則の通りになります。
憶えるべき冪の法則
主な冪の法則
今回は、距離空間、極限、冪について説明しました。 次回は、三角形や円などの様々な図形について解説します!
1508205063ja