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Kuina-chan

くいなちゃんAug 22, 2017


6さいからの数学」第3話では、整数とその性質を解説します!

第2話では、集合と自然数と加算の公理を使って「1,add,1,eq,2」を証明しました。 しかし、これらの公理を持ち出さなくてもわたしたちは「1,add,1,eq,2」であることを確信しています。 そこで、前回のような方法で「1,mul,1,eq,1」や「1,sub,1,eq,0」などを証明していくことはやめ、その気になればこれらも証明可能であるとした上で、今後は「本当に成り立つかどうか判らないこと」に焦点を当てて進めることにします。

整数

第2話で、自然数を「bb_ln,eq,bcl,0,comma,1,comma,2,comma,3,comma,4,comma,dots,bcr」という集合で表しましたが、これらにマイナスを付けた数を含めたものを「整数せいすう」といいます。 つまり整数全体の集合をbb_lzとすると、「bb_lz,eq,bcl,dots,sub,3,comma,sub,2,comma,sub,1,comma,0,comma,1,comma,2,comma,3,comma,dots,bcr」となります。
0より大きい数を「せい」の数といい、0より小さい数を「」の数といいます。
どのような2つの整数a,comma,bに対しても、加算「a,add,b」や減算「a,sub,b」や乗算「a,mul,b」が行えることはご存知の通りです。 「a,mul,b」は「a,cdot,b」と書かれたり、しばしば乗算の記号が省略されて「a,b」と書かれます。

累乗

整数aと、0以上の整数bに対し、「ab」と表された演算を「累乗るいじょう」といいます。 このとき「ab」とは「aをb回掛けた数」を意味し、例えば「23」は「2×2×2」、つまり8です。
また、0でない任意の数aに対し、「a0=1」とします。 例えば「20=1」です。 「00」は、「1」と定義されることもありますが、様々な理由から定義しないことも多いです。

絶対値

整数aが0からどれだけ離れているかを、aの「絶対値ぜったいち」といい、「|a|」と表します。 a≧0のときは「|a|=a」、a<0のときは「|a|=-a」と計算できます。 例えば5の絶対値は「|5|=5」、-3の絶対値は「|-3|=3」です。

整数を学ぶ意義

物理学などの自然科学では、整数よりも実数を扱うことが多いため、学校教育では整数が深く取り上げられることは少ないのが現状です。
しかし整数にはパズルのような面白さと奇妙さがあるため、数学の大会や未解決問題には整数に関するものが多く現れます。 またコンピュータ上では整数は基本的な要素になるため、素数の定理が暗号に応用されるなど、部分的に活用されています。
その面白さに触れていただくため、今回は整数の基本的な性質を説明したのちに、最後にそれらを応用した具体的な問題を解いてみることにします。

整数の性質

ここからは、整数の様々な性質について解説します。

商と余り

2つの整数の除算(a÷b)は、その値が整数にならないことがあります。 そこで、計算結果が整数になる「しょう」と「あまり」というものを定義します。
「a÷b」をしたとき、「商」とは、a個のものをb人に配ったときの1人あたりの個数に当たります。 「余り」は、配りきれずに残った個数です。 例えば、「7÷3」の商は2、余りは1です。
これを厳密に数式で定義すると、「a÷b」をしたときの商と余りとは、それぞれ「a=qb+r (0≦r<b)」を満たす整数qとrになります。 「7÷3」の例では、aに7、bに3、qに2、rに1を入れると「7=2×3+1 (0≦1<3)」になり、この数式を満たしていることが解ります。

割り切る、約数、倍数

「a÷b」の余りが0であれば、「bはaをる」といいます。 例えば「4÷2」は余りが0なので、2は4を割り切ります。
xはyを割り切るとき、xはyの「約数やくすう」といい、またyはxの「倍数ばいすう」といいます。 2は4を割り切るため、2は4の約数、4は2の倍数です。

公約数、公倍数

cはaを割り切り、cはbを割り切るとき、整数cを、aとbの「公約数こうやくすう」といいます。 例えば、2は4を割り切り、2は6を割り切るので、2は4と6の公約数です。
aはcを割り切り、bはcを割り切るとき、整数cを、aとbの「公倍数こうばいすう」といいます。 例えば、2は10を割り切り、5は10を割り切るので、10は2と5の公倍数です。
aとbの公約数のうち最大のものを、aとbの「最大公約数さいだいこうやくすう」といい、「GCD(a,b)」と表します。 aとbの正の公倍数のうち最小のものを、aとbの「最小公倍数さいしょうこうばいすう」といい、「LCM(a,b)」と表します。

最大公約数と最小公倍数の求め方

最大公約数を求めるには、ユークリッドの互除法に示した「ユークリッドの互除法ごじょほう」という方法が便利です。
  1. 2つの整数のうち、小さいほうをa、大きいほうをbとおく。
  2. b÷aをしたときの余りをrとおく。
  3. このときr≠0であれば、aとbの最大公約数は、rとaの最大公約数に等しい。 よって、rとaの最大公約数を求めることにして(1)に戻る。
  4. このときr=0であれば、aとbの最大公約数は、aである(計算終了)。
ユークリッドの互除法
例えば128と80の最大公約数をユークリッドの互除法で求めた結果は、128と80の最大公約数の通りです。
 128と80のうち、小さいほうは80、大きいほうは128なので、a=80、b=128とおく。
 b÷a、つまり128÷80の余りはr=48なので、GCD(a,b)=GCD(r,a)より、GCD(80,128)=GCD(48,80)。
 同様に、a=48、b=80として繰り返すと、GCD(48,80)=GCD(32,48)=GCD(16,32)。
 ここで、32÷16の余りはr=0なので、GCD(a,b)=aより、GCD(16,32)=16。
 よって、GCD(128,80)=16。
128と80の最大公約数
また、最小公倍数LCM(a,b)は「ab÷GCD(a,b)」で求まります。 例えば128と80の最小公倍数は、LCM(128,80)=128×80÷GCD(128,80)=128×80÷16=640となり、640です。

互いに素

2つの整数aとbが、1と-1以外に公約数を持たないとき、すなわちGCD(a,b)=1のとき、aとbは「たがいに」であるといいます。 例えばGCD(9,16)=1なので、9と16は互いに素です。

素数

正の約数が1とpだけである、2以上の整数pのことを、「素数そすう」といいます。 言い換えると素数とは、2以上の整数のうち、1と自分自身以外の正の整数では割り切れない数のことです。 素数でない2以上の整数を「合成数ごうせいすう」といいます。
素数を小さい順に並べると「2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、…」と続いていきます。 「4」が素数に含まれていないのは、1と自分自身以外である「2」で割り切れるためです。
素数は、「エラトステネスのふるい」という方法で得ることができます。 これは「2以上の整数のうち、どの素数の倍数でもないものは素数である」ことを利用した方法で、エラトステネスの篩のように行います。
エラトステネスの篩
エラトステネスの篩

素因数分解

すべての正の整数は、素数の積(掛け算)で表すことができます。 例えば累乗を使うと、「1=203050…」「2=213050…」「3=203150…」「4=223050…」「5=203051…」「6=213150…」のように表せます。 このように正の整数を素数の積で表すことを、「素因数分解そいんすうぶんかい」といいます。
どの正の整数も必ず素因数分解することができ、そのパターンは(積の順序を無視すれば)1通りに限られます。 この性質は「素因数分解そいんすうぶんかい一意性いちいせい」と呼ばれ、他の定理を証明するのにとても役立ちます。
素数に「1」を含めない理由は、1を素数に含めると、「2=1021…=1121…=1221…=1321…」のように素因数分解の一意性が成り立たなくなるためです。

不定方程式

さて、それでは最後に、今までに紹介した整数の性質を応用した具体的な問題に挑戦してみましょう。 「不定方程式ふていほうていしき」と呼ばれる問題です。
方程式ほうていしき」とは、「4x=8を満たすxを求めよ」のような、等式を成立させる変数の値を求める問題のことです。 このとき、等式が成立するような変数の値のことを、方程式の「かい」といいます。
方程式のうち「不定方程式」とは、方程式の解が無数にあるものを指します。 例えば「x+2y=3を満たすxとyの組み合わせを求めよ」のようなものです。 この場合、「x=3,y=0」や「x=1,y=1」などが解となります。
このように不定方程式では方程式の解が無数にありますが、大抵は、条件を付けることで解の個数を有限個にして出題されます。 その条件をいかに利用して解くかというところに、パズルのような面白さがあります。

問題

それでは不定方程式の具体的な問題として、不定方程式の問題に挑戦しましょう。
[問題] ある4桁の整数Nを、1234→4321のように逆順にしたとき、もとの数Nの4倍になった。 Nの値を求めよ。
不定方程式の問題

解法

まずは、不定方程式を組み立てます。 4桁の整数Nを上の桁から1桁ずつa、b、c、dと置くと(例えばN=1234の場合はa=1、b=2、c=3、d=4)、逆順にしたときに元の数の4倍になることから不定方程式の方程式が出来上がります。
4 × (1000a + 100b + 10c + d) = 1000d + 100c + 10b + a
不定方程式
このままではこの式は4つの変数を含んだ不定方程式で解が無数に存在しますので、様々な条件を利用して解を絞り込んでいきます。

aの値を求める

まずa=0の場合はNが3桁以下になってしまうので、a>0であるといえます。 また、a>=3の場合は4倍すると5桁以上になってしまうため、a<3といえます。 つまり、aは1か2のどちらかとなります。
ここで仮にa=1だとすると、方程式は「4×(1000+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+1」となり、右辺の一の位が「1」になっています。 4倍して一の位が1になる整数はありませんので、a=1の場合に解は存在しないことが判ります。 よって、解が存在するとしたらa=2の場合のみとなります。

dの値を求める

a=2を代入すると、方程式は「4×(2000+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+2」になります。 ここで右辺の一の位は「2」ですが、4倍して一の位が2になる整数の一の位は、「3×4=12」「8×4=32」しかありませんので、よって左辺の一の位であるdは、3か8となります。
ここでd=3だとすると、方程式は「4×(2000+100b+10c+3)=3000+100c+10b+2」になりますが、この式を整理すると「b=(6c-501)/39」になり、cに0~9のどの値を入れてもbは負の数になるため、d≠3であることが判ります。 よって、解が存在するとしたらd=8の場合のみとなります。

bとcの値を求める

d=8を代入すると、方程式は「4×(2000+100b+10c+8)=8000+100c+10b+2」になり、これを整理すると「b=(2c-1)/13」となります。 ここで「(2c-1)/13」が整数になるためには、c=7とする必要があり、それ以外はありえません。
c=7を、b=(2c-1)/13に代入して、b=(2×7-1)/13より、b=1です。
よって、a=2、b=1、c=7、d=8より、N=2178です。 2178×4=8712より、4倍すると確かにもとの数の逆順になることが解ります。
今回は、整数の基本的な性質を紹介し、具体的な問題に挑戦してみました。 次回は、小数を含めたいろいろな数について解説します!
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